Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/221

Пятое необходимое условіе:

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ одному изъ типовъ: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, то найденная функція $T(u)$ должна быть гессіаномъ найденной функціи $f(u)$, а найденная функція $T(u)$ должна быть функціональнымъ опредѣлителемъ $f(u)$ и $H(u)$.

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ двупирамидному типу, то должны имѣть мѣсто тождества:

$H(u)={\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}},\ T(u)={\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}},$

‎тдѣ $f_{1}$ и $f_{2}$ суть два линейныхъ множителя найденнаго квадратнаго многочлена $f(u)$:

$f(u)=f_{1}f_{2}.$^[1]

‎Шестое необходимое условіе:

Между найденными многочленами $\psi (u),\ \varphi (u),\ f(u),\ H(u)$ должна имѣть мѣсто тождественная зависимость:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Убѣдившись въ выполненіи этого условія, мы въ то же время находимъ коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$. ‎Имѣя величины этихъ коэффиціентовъ, мы можемъ въ дѣйствительности преобразовать уравненіе (2) въ (1') и въ (1).

Изъ сказаннаго видно, что приведенные шесть условій необходимы и достаточны для того, чтобы уравненіе (2) имѣло корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка.

Примѣръ.

Дано уравненіе:

$u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1+zu^{2}(u+1)^{2}=0.$

(9)

‎Спрашивается, не принадлежитъ ли оно къ изучаемому нами классу уравненій?

1. См. [[../../Глава V/ДО#§22|§ 22]] формулы [[../../Глава V/ДО#Eq16|16]].

Тот же текст в современной орфографии

Пятое необходимое условие:

Если уравнение (2) принадлежит к одному из типов: тетраэдрическому, октаэдрическому или икосаэдрическому, то найденная функция $T(u)$ должна быть гессианом найденной функции $f(u)$, а найденная функция $T(u)$ должна быть функциональным определителем $f(u)$ и $H(u)$.

Если уравнение (2) принадлежит к двупирамидному типу, то должны иметь место тождества:

$H(u)={\frac {f_{1}^{m}+f_{2}^{m}}{2}},\ T(u)={\frac {f_{1}^{m}-f_{2}^{m}}{2}},$

‎тде $f_{1}$ и $f_{2}$ суть два линейных множителя найденного квадратного многочлена $f(u)$:

$f(u)=f_{1}f_{2}.$^[1]

‎Шестое необходимое условие:

Между найденными многочленами $\psi (u),\ \varphi (u),\ f(u),\ H(u)$ должна иметь место тождественная зависимость:

$\left.{\begin{array}{l}\psi (u)=\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u),\\\varphi (u)=\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u).\end{array}}\right\}$

(5)

‎Убедившись в выполнении этого условия, мы в то же время находим коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma ,\ \delta$. ‎Имея величины этих коэффициентов, мы можем в действительности преобразовать уравнение (2) в (1') и в (1).

Из сказанного видно, что приведенные шесть условий необходимы и достаточны для того, чтобы уравнение (2) имело корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Пример.

Дано уравнение:

$u^{3}(u+1)^{3}+3u(u+1)+1+zu^{2}(u+1)^{2}=0.$

(9)

‎Спрашивается, не принадлежит ли оно к изучаемому нами классу уравнений?

1. См. § 22 формулы 16.