Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/218

Мы въ правѣ предполагать, что уравненіе (2) неприводимо, потому что иначе мы разбили бы его на нѣсколько неприводимыхъ уравненій и разсмотрѣли бы ихъ въ отдѣльности.

Если уравненіе (2) принадлежитъ къ одному изъ четырехъ типовъ: двупирамидному—степени $2m$, тетраэдрическому—степени 12, октаэдрическому—степени 24 или икосаэдрическому—степени 60, то степень уравненія (2) непремѣнно четная. Отсюда:

Первое необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Степень $N$ уравненія (2) должна быть четная.

Если уравненіе (2) можетъ быть приведено къ виду (1'), то оно во всякомъ случаѣ должно приводиться къ виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(3)

‎гдѣ $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ суть цѣлые раціональные взаимно простые многочлены, а ${\mathfrak {R}}(z)$—раціональная функція $z$.

Отсюда:

Второе необходимое условіе тождественности уравненій (2) и (1):

Уравненіе (2) послѣ переноса во вторую часть нѣкоторыхъ членовъ и дѣленія на нѣкоторую раціональную функцію $u$ и $z$ должно приводиться къ виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(3)

‎Рѣшить вопросъ о томъ, выполняется ли это условіе, можно совершенно элементарными способами.

Пусть это условіе выполнено.

Убѣдившись въ этомъ, мы въ то же время находимъ функціи $\psi (u)$ и $\varphi (u)$.

Преобразуя линейно обѣ части уравненія (1'), мы можемъ получить безконечное число уравненій тождественныхъ съ (1'); всѣ они будутъ такого вида:

${\frac {\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u)}{\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u)}}={\frac {\alpha R(z)+\beta }{\gamma R(z)+\delta }},$

(4)

Тот же текст в современной орфографии

Мы вправе предполагать, что уравнение (2) неприводимо, потому что иначе мы разбили бы его на несколько неприводимых уравнений и рассмотрели бы их в отдельности.

Если уравнение (2) принадлежит к одному из четырех типов: двупирамидному — степени $2m$, тетраэдрическому — степени 12, октаэдрическому — степени 24 или икосаэдрическому — степени 60, то степень уравнения (2) непременно четная. Отсюда:

Первое необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Степень $N$ уравнения (2) должна быть четная.

Если уравнение (2) может быть приведено к виду (1'), то оно во всяком случае должно приводиться к виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(3)

‎где $\psi (u)$ и $\varphi (u)$ суть целые рациональные взаимно простые многочлены, а ${\mathfrak {R}}(z)$ — рациональная функция $z$.

Отсюда:

Второе необходимое условие тождественности уравнений (2) и (1):

Уравнение (2) после переноса во вторую часть некоторых членов и деления на некоторую рациональную функцию $u$ и $z$ должно приводиться к виду:

${\frac {\psi (u)}{\varphi (u)}}={\mathfrak {R}}(z).$

(3)

‎Решить вопрос о том, выполняется ли это условие, можно совершенно элементарными способами.

Пусть это условие выполнено.

Убедившись в этом, мы в то же время находим функции $\psi (u)$ и $\varphi (u)$.

Преобразуя линейно обе части уравнения (1'), мы можем получить бесконечное число уравнений тождественных с (1'); все они будут такого вида:

${\frac {\alpha H^{\lambda _{1}}(u)+\beta f^{\lambda }(u)}{\gamma H^{\lambda _{1}}(u)+\delta f^{\lambda }(u)}}={\frac {\alpha R(z)+\beta }{\gamma R(z)+\delta }},$

(4)