Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/146

Возьмемъ снова икосаэдръ, изображенный на чертежѣ 22. Средины реберъ его, лежащія на осяхъ координатъ, могутъ быть приняты за средины реберъ тетраэдра. Такъ какъ каждому октаэдру соотвѣтствуетъ два взаимно дополнительныхъ тетраэдра, то икосаэдру соотвѣтствуетъ 5 паръ взаимно дополнительныхъ тетраэдровъ. Каждый поворотъ, не мѣняющій положеніе одного изъ этихъ тетраэдровъ, не измѣнитъ ни положенія дополнительнаго ему тетраэдра, ни положенія икосаэдра. Каждому тетраэдру соотвѣтствуетъ одинъ опредѣленный икосаэдръ.

Изъ сказаннаго слѣдуетъ, что въ икосаэдрическую группу входитъ 5 группъ тетраэдрическихъ.

Помѣстимъ икосаэдръ въ сферѣ такъ, чтобы одна изъ осей, соединяющихъ двѣ противоположныя вершины его, совпала съ осью сферы, а одна изъ плоскостей симметріи, проходящихъ черезъ эту ось, прошла черезъ дѣйствительную ось плоскости перемѣннаго $u$. Такое положеніе икосаэдра изображено на черт. 24.

Въ послѣдующихъ вычисленіяхъ намъ понадобится выраженіе линейной подстановки, соотвѣтствующей тому повороту сферы, который приводитъ икосаэдръ изъ положенія, изображеннаго на черт. 22, въ положеніе, изображенное на черт. 24.

Полюсами оси вращенія въ данномъ случаѣ служатъ точки $+i$ и $-i$. Вращеніе происходитъ около оси $AA'$ (черт. 22) въ положительномъ направленіи относительно наблюдателя, смотрящаго отъ $A$ къ $A'$. Уголъ поворота $\theta$ отмѣченъ на чертежѣ 22 и опредѣляется формулою:

$tg\,\theta ={\frac {1}{2cos\,36^{\circ }}}.$

(16)

‎Примѣняя формулы ([[../../Глава III/ДО#Eq39|39]]) и ([[../../Глава III/ДО#Eq41|41]]) [[../../Глава III/ДО|главы III]], находимъ, что искомая подстановка $\sigma$ выражается такъ:

$\sigma (u)={\frac {u+tg\,{\dfrac {\theta }{2}}}{u\,tg\,{\dfrac {\theta }{2}}-1}}.$

(17)

Тот же текст в современной орфографии

Возьмем снова икосаэдр, изображенный на чертеже 22. Середины ребер его, лежащие на осях координат, могут быть приняты за середины ребер тетраэдра. Так как каждому октаэдру соответствует два взаимно дополнительных тетраэдра, то икосаэдру соответствует 5 пар взаимно дополнительных тетраэдров. Каждый поворот, не меняющий положение одного из этих тетраэдров, не изменит ни положения дополнительного ему тетраэдра, ни положения икосаэдра. Каждому тетраэдру соответствует один определенный икосаэдр.

Из сказанного следует, что в икосаэдрическую группу входит 5 групп тетраэдрических.

Поместим икосаэдр в сфере так, чтобы одна из осей, соединяющих две противоположные вершины его, совпала с осью сферы, а одна из плоскостей симметрии, проходящих через эту ось, прошла через действительную ось плоскости переменной $u$. Такое положение икосаэдра изображено на черт. 24.

В последующих вычислениях нам понадобится выражение линейной подстановки, соответствующей тому повороту сферы, который приводит икосаэдр из положения, изображенного на черт. 22, в положение, изображенное на черт. 24.

Полюсами оси вращения в данном случае служат точки $+i$ и $-i$. Вращение происходит около оси $AA'$ (черт. 22) в положительном направлении относительно наблюдателя, смотрящего от $A$ к $A'$. Угол поворота $\theta$ отмечен на чертеже 22 и определяется формулой:

$\operatorname {tg} \theta ={\frac {1}{2\cos \,36^{\circ }}}.$

(16)

‎Применяя формулы (39) и (41) главы III, находим, что искомая подстановка $\sigma$ выражается так:

$\sigma (u)={\frac {u+\operatorname {tg} {\dfrac {\theta }{2}}}{u\operatorname {tg} {\dfrac {\theta }{2}}-1}}.$

(17)