УПРУГОСТИ ТЕОРИЯсводится всего лишь к двум, и формулы (8) принимают весьма простой вид: Хх = Л (е, л + еу + ez) = (и две ч аналогичные), > (9) У2 = 2/ieyz (и две аналогичные), J где 1 и р — постоянные, характерные для данного материала, называемые постоянными Ламе (G. Ьашё). Постоянная р имеет весьма простое физическое значение. Представим себе, что четыре грани кубика из данного материала под7 вершены (равномерно / распределенным) ска>-----------h лывающим напряже/: — 7 ниям величины Т, как Z — т------- /у / указано на рис. 7; тог/ : /
да кубик испытывает : h_____ J... J простой сдвиг. ВелиJ h Г/ чина е относительно "
!/ сдвига (величина, на / Рис. 7. которую уменыпаетт ся угол, первоначально прямой, между двумя соседними гранями, подвергающимися скалывающим напряжениям) пропорциональна напряжению, т. е.
Т = G-е, где G — коэффициент пропорциональности, называемый модулем сдвига. Постоянная Ламе /л есть не что иное, как модуль сдвига G. Постоянная Л не имеет столь непосредственного значения, но может быть просто выражена через модуль, упругости Е (см. выше) и модуль сдвига G. Обычно все эти величины выражаются через модуль упругости Е и через т. н. коэффициент Пуассона, определяемый следующим образом: если подвергнуть стержень растягивающему напряжению, то, как можно заключить на основании формул (9), он не только удлиняется продольно, но линейные элементы поперечного направления укорачиваются, причем отношение относительного укорочения этих последних к относительному удлинению продольных элементов есть величина постоянная (для данного материала). Это отношение и называется коэффициентом Пуассона; обозначим его через or. Постоянные Л и выражаются через Е и or при помощи следующих, легко выводимых формул: Л
(1 + а) (1—2а) ’
“ 2(1+<г) ’
Можно показать на основании общих соображений, что для всех материалов 0 <. о -• По старой теории Коши и Пуассона, для всех материалов сг = | = 0, 25, но это не подтвердилось на опыте. Приводим приблизительные значения Е и о для нек-рых материалов:
Соотношения (8), а в случае изотропного тела соотношения (9) вместе с соотношениями, связывающими компоненты деформации с компонентами смещения (5), и вместе с дифференциальными уравнениями, связывающими напряжения в случае равновесия (4), приводят к основным дифференциальным ур-иям математической У. т. для случая равновесия (ур-ия статики упругого тела).В случае изотропного тела подстановка выражений (8) в (4) приводит, на основании (5), к трем дифференциальным ур-иям в частных производных:
(Л + //)
= цДи + qx = 0 (и двум аналогичным),
где ди, дт>, дчэ л d2u, д2и, д2и дх^ ду дх ’ дх2^ ду2 дх2 ’ это и есть основные ур-ия статики изотропного упругого тела в компонентах смещения; Такие ур-ия не только статические, но и динамические (см. ниже) были получены уже в 1821 Навье (Navier), к-рый рассматривал упругое тело как систему материальных точек; уравнения Навье получаются из приведенных здесь, если положить Я = д. Можно также составить уравнения, где фигурируют только напряжения: это суть три уравнения (4) и шесть уравнений, которые получим, если при помощи (8) выразим компоненты деформации через компоненты напряжения и подставим эти выражения в уравнения совместимости (7).
_
Уравнения, относящиеся к случаю движения (ур-ия динамики упругого тела), получаются из ур-ий статики присоединением к объемным силам сил инерции, что сводится к замене X, У, Z соответственно на у
д2и — у
d2v
у
d2v?
Мы получаем таким образом ур-ия, определяющие колебания упругих тел и распространение волн в упругой среде.
Решение указанных ур-ий при определенных контурных, а в случае динамическом и начальных условиях составляет главный предмет математической У. т. Типичными контурными условиями являются следующие: а) задаются смещения точек поверхности тела (первая основная задача); Ъ) задаются напряжения, действующие на поверхность тела (вторая основная задача); . с) задаются смещения на одной части поверхности и напряжения на другой (смешанная задача). Начальные условия заключаются в том, что задаются смещения и скорости всех точек тела в определенный, «начальный» момент времени.
Решение названных задач в общем виде представляет значительные математические трудности. Однако за последние десятилетия задачи а) и Ъ), в случае статическом, получили полное решение при довольно общих предположениях.
Этого нельзя сказать о задаче с), а также одинамических задачах для всех трех случаев.
Однако и в этом отношении рядом исследователей получены весьма значит, результаты.
IV. О практическом решении задач У. т.
Сказанное в конце предыдущей главы, о полном решении нек-рых из названных там задач, следует понимать условно: это значит, что имеются методы, применяя к-рые можно получить решение с любой точностью, если не ограничивать себя ни временем ни количеством затрачиваемого труда. Однако эти факторы имеют решающее значение, когда речь идет о практических задачах. Фактическое использование «теоретического» решения оказывается зачастую невыполнимым. Поэтому большое значение приобретают методы эффективного решения того или иного класса задач частного вида.
Такие методы интенсивно разрабатывались уже с самого возникновения У. т. и дали ряд весьма ценных, с точки зрения практической, результатов. Особенно хорошо разработаны в этом отношении задачи, весьма важные для практики, относящиеся к телам, одно или два измерения к-рых малы по сравнению с остальными (стержни, пластинки, оболочки). Одним
