ниям совместимости, полученным Сен-Венаном (Bari de Saint-Venant), 1860: &еуу д2еза я ®^ехх d ( deyz dezx ОбдггЛ . Oz — 4 0y* dydz’ dydz dx\ dx dy dz P ' четыре аналогичных, получаемых круговой перестановкой букв).
В любом месте тела можно выбрать так ориентированный кубик, что после деформации углы между ребрами его останутся прямыми, и кубик обращается в прямоугольный параллелепипед.
Направления ребер такого кубика называются главными осями деформации (в данной точке тела). Если оси координат направлены по главным осям, то очевидно eyz = ezx = exy = Q. Относительные удлинения ех, еу, ее, соответствующие главным осям, называются главными; обозначим их через е19 е2, е3.
Таким образом всякая (малая) деформация элемента объема есть комбинация трех простых растяжений по трем взаимно-перпендикулярным направлениям. Можно показать, что сумма ех + еу 4 — ez не зависит от ориентировки осей координат и следовательно равна е14-е24-ез — Эта сумма представляет собою относительное объемное расширение (в данной точке), т. е. отношение приращения элемента объема к первоначальному его объему (при уменьшении объема это — величина отрицательная).
Отметим еще один простой вид деформации, соответствующий случаю, когда один из компонентов eyz, ezx, еху отличен от ноля, остальные же (включая ех9 еу9 ег) равны нолю. Пусть напр. ezx #= 0, а все остальные компоненты равны нолю. Деформация очевидно может быть описана как скольжение плоскостей, параллельных плоскости Оху, самих себя, в направлении оси Ох (рис. 6). При этом плоскости, параллельные первоначально плоскости Оу#,' составят с ней угол е = 2esaJ (после описанной операции полученная фигура может быть еще передвинута и повернута как жесткое целое).
Такая деформация называется простым сдвигом; величина 2ezx характеризует величину этого сдвига и называется (относительным) сдвигом; вообще величины eyz9 ezx9 еху называются (относительными) сдвигами.
111. Основной закон У. т. Основные уравнения.
Все сказанное до сих пор о деформациях и напряжениях может быть отнесено ко всяким «сплошным» телам. Характерным для упругого тела как такового (в смысле, обычно принятом в У. т.) является закон линейной зависимости между напряжениями и деформациями. В первоначальном своем виде закон этот был впервые высказан Робертом Гуком (Robert Hooke)и опубликован сперва (1676) в виде анаграммы «ceiiinosssttuv», а затем (1678) в виде знаменитой фразы: «ut tensio sic vis» — «каково растяжение, такова и сила». Смысл, к-рый вкладывал Гук в свой закон, может быть на современном языке передан так: «деформация пропорциональна усилию».
Выше (гл. I) было сказано, что закон этот действительно применим (в известных пределах) к ряду материалов при нек-рых простых видах деформации, когда деформация и вызывающая ее нагрузка могут быть охарактеризованы одной величиной каждая. Напр. в случае растяжения (сжатия), если е обозначает относительное удлинение, N — растягивающее напряжение, то (пока не превзойден предел пропорциональности) N=E-e, где Е обозначает коэфф, пропорциональности. Величина Е, характерная для данного материала, называется модулем упругости, или модулем Юнга; она численно равна тому напряжению, к-рое было бы необходимо для удвоения длины растягиваемого стержня (если бы закон пропорциональности сохранялся при столь больших деформациях).
Однако, как было уже сказано (гл. II), в общем случае состояния деформации и напряжения характеризуются шестью величинами каждая. Поэтому закон Гука, в первоначальной его форме, не может охватить деформаций общего вида и нуждается в значительном обобщении. Такой обобщенный закон был дан впервые в 1822 Коши (A. L. Cauchy), которому принадлежит также заслуга введения общего понятия о компонентах напряжения и вывод ур-ий, их связывающих, указанных в гл. II. Этот закон («обобщенный закон Гука») формулируется в следующем виде: компоненты напряжения суть линейные и однородные функции компонентов деформации (и обратно), т. е. мы имеем: = а-^хх + а2е^+ азеаа + aieyz + аъегх + af>exyi }(В) ^У = ^1&XX 4" ^2&yy 4“ ^3^33 4- ^4^/3 4“ ^b^'ZX 4“ ^^xy
и т. д. (всего шесть соотношений такого вида), где Ох,. а2 ит. д., Ъ19 Ъ2 и т. д. суть постоянные, характерные для данного материала (они могут меняться от точки к точке, если материал не однороден). Этот закон (вернее, вывод из него) подтверждается (в известных пределах) для большого ряда материалов, и его принимают как исходный закон У. т. Он может быть также выведен (при известных общих предположениях) из молекулярной теории строения вещества, что было относительно недавно (1915) сделано Борном (М. Born). Сам Коши дал подобный вывод в работе, опубликованной в 1828, но исходя из слишком частных предположений о молекулярном строении вещества. Благодаря этому он пришел к результату, не подтвердившемуся на опыте, что среди 36 постоянных (по 6 в каждой строке), фигурирующих в формулах (8), имеется только 15 различных.
К такому же результату пришел почти одновременно и Пуассон (S. D. Poisson). Все же можно показать, исходя из энергетических соображений, что число различных постоянных в формулах (8), даже в самом общем случае, не 36, а 21; этот результат получен впервые в 1837 Грином (G. Green).
В случае изотропного тела, т. е. такого, свойства к-рого одинаковы по всем направлениям, главные оси деформации совпадают с главными осями напряжений. Кроме того в этом случае число постоянных в формулах (8)
