УПРУГОСТИ ТЕОРИЯХх, Yx, Zx\ Ху, Yy, Zy — Xz, Yz, Zz, (1) называемые компонентами напряжения (в данной точке М тела). Применяя надлежащим образом основные предложения статики (а именно, что главный вектор и главный момент всех внешних сил, действующих на любую мысленно выделенную часть тела, должны быть равны нолю), можно показать, во-первых, что напряжение, действующее на любую площадку <т, проходящую через М, может быть выражено через величины (1), и, во-вторых, что среди величин (1) не все различны, а именно: всегда имеют место равенства: Yz = Zy, Zx = Xz, Xy — Yx.
(2) Т. о. в самом общем случае имеется только шесть различных компонентов напряжения: ? у, Zz, Yz, Zx, Xy.
Кроме того из тех же предложений статики вытекает, что эти компоненты связаны между собой и с объемными силами тремя дифференциальными ур-иями в частных производных.
Если Хп, Yn, Zn — проекции на оси координат напряжения Fn, действующего на площадку а с нормалью п, то они выражаются через величины (1) по, формулам: Хп = Хх • cos (п, х) + Ху • cos (п, у) + Xz • cos (n? z) (3)
(и двум аналогичным, получаемым заменой X на У и на Z). Упомянутые выше дифференциальные уравнения имеют следующий вид: дХх 'дХу 0Xz
~дГ+^ди' + ~дГ + вХ = 0
(4)
(и два аналогичных), где q — плотность тела в данной точке, а X, У, Z — проекции объемной силы.
Можно показать, что в каждой точке тела имеется три взаимно-перепенд. площадки, не испытывающие скалывающих напряжений. Направления нормалей к этим площадкам называются главными осями напряжений и соответствующие нормальные напряжения — главными напряжениями. Если оси координат направлены по главным осям, то согласно определению Y3 = Zx = Xy = 0, Xx = Nlf Yy = N2i Zz = N3, где Nlt N2, N3 — главные напряжения.
Поверхность (бесконечно-малого) кубика, ребра к-рого направлены по главным осям, подвергается только растягивающим или сжимающим нормальным напряжениям (напряжения, приложенные к противоположным граням, в первом приближении попарно равны и противоположно направлены). Сумма Xx-\-Yy-[-Zz нормальных напряжений, приложенных к трем любым взаимно-перпендикулярным площадкам (проходящим через данную точку), не зависит от ориентировки этих площадок и равна сумме •№i +^2 -\-N3 главных напряжений. В случае, когда jV1=N2=Ns, напряжение не зависит от ориентировки площадки (это всегда имеет место в жидкостях, даже вязких, в случае равновесия; в идеальных жидкостях — также и во время движения. В этих случаях N1=N2 = =N3= — p, где р — давление).
Наряду с напряжениями не менее важной характеристикой состояния упругого тела является его деформация. Под деформацией тела в собственном смысле понимают такие смещения его точек, при к-рых изменяются взаимные расстояния между ними. Смещение данной точки характеризуется вектором, имеющим начало в первоначальном положении точки, а конец — в конечном. Проекции и, v, w этого вектора на оси координат называются компонентами смещения. Различные точки тела сме 152
щаются различно, и поэтому и, v, w — функции координат х, у, я первоначального положения точки, а в случае движения — и времени t. В У. т. u, v, w (а также их производные) считаются обычно весьма малыми величинами, квадратами и произведениями к-рых можно пренебречь; дальнейшее изложение ведется при этом предположении. Компоненты смещения и, v, w не дают непосредственного представления о деформации как таковой, ибо точки тела могут получить смещения и при отсутствии деформации (при движении тела как неизменного целого). Поэтому в рассмотрение вводят еще другие вели- / Рис — 4чины, определяемые следующим образом. Выделим (мысленно) из тела, до его деформации, бесконечно-малый кубик, ребра МА, МВ, МС к-рого параллельны осям координат (рис. 4). С требуемой степенью точности можно принять, что после деформации кубик обратится в параллелепипед М'А'В'С' (рис. 5). Деформация кубика вполне характеризуется удлинениями его ребер и изменениями углов между ними. Обозначим через ех, еу, ez относительные удлинения ребер, первоначально параллельных осям Ох, Оу, Оя, так что напр.
_ М'А' — МА МА
(если на самом деле происходит укорочение, то &х будет отрицательным). Обозначим далее через 2eyz, 2ezsc, %еху уменьшение углов (первоначально прямых) соответственно между ребрами МВ и МС, МС и МА, МА и МВ, так что например 2eyz = ВМ^МС — В'М'М'С' (если на самом деле происходит увеличение угла, с, ___ то eyz отрицательно).
z ' /Г~ /\ Величины qx, еу, ez, '
/ еу*> еху называ] / / • ются компонентами / /А.. -/--/л' деформации, так как /' !/ они вполне характеg----- — У ризуют деформацию в окрестности дан__________ х ной точки М.
/и Для того чтобы 5 Рис. 5. знать не только фор6 му, но и положение деформированного кубика в пространстве, необходимо знать еще компоненты смещения точки М и компоненты р, q, т вращения, испытанного кубиком вследствие деформации и смещения тела, к-рому он принадлежит. Все эти величины очевидно вполне определены, если известны компоненты и, v, w смещения каждой точки тела.
А именно: величины эти выражаются через и, v, w следующими формулами: ди .
. вхх==’дх (И ДВе аналогичные)» (5) 1 (дую dv\, .
(и «ве аналогичные) . две аналогичные).. р =1- (dv9 - ----дп\ -- I (и (6) а \ОУ д? J Компоненты деформации не могут задаваться произвольно. Действительно, из шести уравнений (5) можно исключить и, v, w, что приводит к шести т. н. ура вне-
