точки в локальных Eni то введённое отобра
компонент тензоров, определённых в разжение окрестности точки в Хп на соответст
личных локальных Еп, что не имеет смысвующее локальное Еп будет определяться ла с точки зрения тензорной алгебры. Для уравнениями (14) в любой системе того чтобы определить дифференциальную операцию, в результате которой получался бы координат.
Если Хп рассматривать как n-мерную по
тензор, необходимо задать аффинное отобраверхность в Ед(№>п), то локальные Еп жение друг на друга локальных Еп, соответможно представить геометрически как п-мер — ствующих бесконечно-близким точкам Хп, ные касательные плоскости к этой поверх
или, говоря иначе, аффинную связности, а отображение бесконечно-малой ок
ность. Пусть Еп и 'Еп соответствуют двум рестности каждой точки Хп на окрестность каким-либо бесконечно-близким точкам центра в Еп — как отождествление бесконечнои 'M(£a + d$a) вХп. малой части поверхности с касательной площадкой — если, разумеется, точку касания Аффинная связность в Хп называется линейпринять за центр соответствующего ей Еп. ной, если коэфф-ты аффинного отображения Однако для построения геометрии п-мер- 'Еп на Еп (см. формулу 10) имеют вид: ного пространства внутренним образом, т. е.
+ qa = d£a’ (17) не выходя из него в пространство большего числа измерений (что является желательным где — функции одних только <а. Х„ с лис различных точек зрения), мы не можем пользоваться этой интерпретацией локаль
нейной аффинной связностью обозначаются ных Еп и поэтому вводим их путём формаль
через Ln. Коэфф-ты обратного отображения ных определений. Пользуясь локальными Enf Еп на 'Еп определяются формулами легко ввести понятие тензора в Хп. р« = ^-Г^йГ, (18) Говорят, что в некоторой точке Хп задан тензор, если в соответствующем этой точке Г^ называются коэфф-тами связности. При локальном Еп задан тензор согласно опре
преобразовании координат в Хп они преобраделению тензора в Евклидовом простран
зуются по формулам: стве.
О, Если в каждой точке нек-рой области Хп г-,, т задан тензор, то говорят, что задано тензорное поле. Слово «поле» часто опускают и откуда следует, что они не являются комговорят просто о тензоре в Хп, заданном в понентами тензора. Пусть в Ln задано тензорсоответствующей области. Областью задания ^1”^; тогда в Еп и 'Еп мы тензора не обязательно должна являться ное поле Ка1 n-мерная область Хп, тензор в Хп может имеем тензоры с компонентами Vai.. aZ1 и
быть задан в нек-рой области /«-мерной по* Pi--Pq у
‘ й-Ач-^У ’ При верхности в Хп или, в частном случае, вдоль /у yai.. ap a=Fai..^ -Г"" ai.. ap • * нек-рой кривой. Компоненты тензора в Хп отображении 'E^ на Е9г тензору 'VaiPapPq являются функциями точки, определёнными в области его задания. Если область задания дет соответствовать в E„ тензор Vai,, ap/19,^qt тензора n-мерная, то они могут рассматри
определяемый по формулам (13). Разность ваться как функции координат точки £а. между этим тензором и тензором поля в точке В случае задания тензора вдоль поверхности М, вычисленная с точностью до членов перили кривой его компоненты являются функ
вого порядка относительно d;a, называется циями параметров, служащих для определе
абсолютным дифференциалом ния положения точки на этой поверхности тензорного поля и обозначается через или кривой.
d Из формул”(17) и (18) можно поКак следует из определения тензора в Х^, при преобразовании координат в Хп компо
лучить ненты тензора преобразуются по формулам 0Kai.*a^ ика1-. а^ (6), где А “и. согласно равенствам (16), ‘
— V‘ * Р^РдГ 0* (УЧ 27ai ’ __ . . . являются частными производными и, следовательно, уже не постоянные, а функции точки — У -PL--Pqr<» +
r а1 • -<o yap в Хп. Т. к. задание тензора в Хп сводится к заданию тензора в каждом из локальных Еп, +Va1.:a^'^rva^div+-соответствующих точкам области, где он (20) определён, то над тензорами в Хп можно производить все алгебраич. действия, определённые для тензоров в Еп. Дело сводится Как следует из определения, абсолютный к выполнению этих действий отдельно в каж
дифференциал тензора есть тензор той же дом локальном Еп. Важно заметить, что ковариантной и контравариантной валентноне имеют смысла сложение, вычитание и сти. Абсолютный дифференциал скаляра счиумножение тензоров, заданных в раз
тается совпадающим с обычным его дифференциалом. личных точках Хп, Если тензорное поле задано вдоль кривой Абсолютное дифференцирование тензоров.
Из формул преобразования компонент тен
в Хп с параметром t, то отношение зора в Хп вытекает, что дифференциалы £ у' ’ Pl"Pq qi--q# называется абсолютной компонент не являются компонентами тенdt зора; Геометрически это связано с тем, что при определении дифференциалов компонент производной тензора по параметру t. тензорного поля приходится брать разность Если тензор задан в n-мерной области Хп, то
