ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ
Обозначив ct через и, мы перепишем уравнения (5) следующим образом (игнорируя 2 и у, т. к. мы рассматриваем простейший случай движения только по оси х-ов) х — ри — Рх + Ц 1Л1—02 ’ или соответствующие им обратные формулы: х' + ри' Рх' + и (5") X .~ 9 и
_____ • У1 — рг У1 — Д2 В момент t=0 (u=0) старое и новое начало систем отсчета совпадают так же, как совпадают начала счета времени (начала обеих систем находятся в точке О). Вторая система отсчета движется с постоянной скоростью v относительно первой. Это значит, что последовательность пространственно-временных положений начала второй системы (мировая линия ее начала координат) изобравится на графике прямой, проходящей через начало О, угол наклона к-рой к оси времен (и) определяется скоростью второй системы; именно этот угол таков, что тангенс его равен р (в частности движение со скоростью с изобразится прямой, проходящей через О под углом в 45°). Для новой системы отсчета осью времени V (и') является мировая линия ее начала, т. е. прямая Ou, тогда как осью пространственной координаты будет, как это явствует из симметричного вхождения х' и и' в ур-ия (5') и (5"), прямая, симметричная с Ои', по отношению к прямой, идущей под углом в 45°. В этом отличие преобразования Лоренца от преобразования Галилея — Ньютона, которое точно так же может быть изображено подобным чертежом. Для преобразования Галилея — Ньютона оси Ох и Ох' всегда совпадали бы между собой* Точки, лежащие на прямых, параллельных Ох, будуту очевидно, изображать события, одновременные в первой системе отсчета, но имеющие различные пространственные положения, тогда как точки, лежащие на прямых, параллельных Ou, представляют события в одной и той же точке, но совершающиеся в разные последовательные моменты времени (с точки зрения первой системы отсчета).
Совершенно так же одновременные для второй системы отсчета события изображаются точками, лежащими на прямых, параллельных оси Ои'. Мы видим, что события, одновременные в первой системе, напр., А и А', не будут одновременными во второй и обратно. Они будут одновременными лишь в том случае, если совпадают также пространственно. Однако взаимная координация событий (скажем А и А') не может зависеть от выбора систем отсчета. Она должна быть описана инвариантно, и это описание должно характеризовать объективно . пространственно-временную координацию физических событий.
Для осуществления этой цели и вводится указанное выше, независимое от выбора систем отсчета, понятие пространственно-времен но го интервала между двумя событиями, имеющими какие-либо координаты x, y, 2, ct и x', y', 2'fct'.
S2 = -(X_X') 2-(y-y') 2-(2'-Z') 2 + С2 (t-t') 2.
(6) Если мы возьмем два бесконечно близких события с координатами x, y, 2, ct и x+dx, y+dy, 2-}-d2t c(t+dt), то пространственно-временной интервал между ними равен ds= -dx2 — dy2 — d22 + C2dt2 (7) (ds — не есть полный дифференциал). Пространственновременной интервал играет роль меры абсолютного пространственно-временного «расстояния» между какимилибо двумя событиями. — Наша диаграмма Лоренцова преобразования должна быть дополнена указанием масштабов для осей Ou и Ox, Ou' и Ох', так как вследствие того, что в интервал входит величина с разными знаками (t и х, у, г), на диаграмме должна иметь место не Евклидова геометрия с неизменным от точки к точке масштабом, а геометрия гиперболического типа. Масштабы для разных систем отсчета будут различны. — Вычертим равносторонние гиперболы, имеющие уравнение (см. рис. 2) Х2 — U2—1, U2 — х2 = 1.
(8) «Эти гиперболы будут пересекать оси любых систем отсчета (в т. ч. и нашей, т. е. Ou и Ох) так, что расстояния от О до точек пересечения отмеривают как-раз единицы масштаба оси времени и оси пространственной координаты.
Преобразование Лоренца интерпретируется графически на диаграмме как преобразование двух сопряженных диаметров гипербол Ou и Ох в два любых других сопряженных диаметра, скажем в Ои' и Ох'. Интервал является одним из инвариантов этого преобразования.
Рис. 3 может служить для разъяснения известных, кажущихся парадоксальными, следствий преобразований Лоренца о масштабах и часах. В первой системе отсчета единица покоящегося масштаба дается отрезком О А, а единица времени по часам, помещенным в начале системы отсчета, дается отрезком ОС. Во второй системе отсчета, движущейся относительно первой, единицей покоящегося в ней масштаба является отрезок ОВ, а единицей времени по часам, связанным с началом второй системы отсчета, является отрезок OD. Выясним связь между О А и ОВ, с одной стороны, и ОС и OD — с другой.
Торки О и А для второй системы не являются одновременными (какими они являются для первой), и потому ОА не служит для второй системы «масштабом». Для
второй системы нужно сравнивать как одновременные положения масштаба О А не точки О и А, а точки О и А'.
Но О А' короче, чем О В; т. о., единичный отрезок ОА, движущийся относительно второй системы, короче ее единичного масштаба. Обратно, для первой системы О и В не одновременны. Одновременными будут точки О и В', так что опять-таки отрезок ОВ короче, чем единица масштаба ОА. Таким образом, имеется «взаимное сокращение движущихся масштабов». Сравним теперь показания двух сеток часов, синхронизированных соответu-ct
Рис. 3.
ственно в первой и во второй системах. Часы, покоящиеся в начале первой системы, будут показывать единицу времени (точка С), тогда как показания часов второй сетки, совпадающих пространственно с первыми часами в этот момент, будут просчитаны (точка С) как время, меньшее единицы (ОС' меньше ОВ). Обратно, показание часов второй системы, помещенных в ее начало, в момент, когда они показывают единицу времени (точка В), соответствует меньшему времени (точка В') часов, синхронизированных для первой системы. Таким образом, имеется также «взаимное сокращение в показаниях движущихся часов». Так как речь идет о различных точках «мировых линий», т. е., в сущности, о различных физических событиях, то никакого парадокса здесь и нет. Следует при этом иметь в виду существенно различный масштаб единиц осей и и х, вследствие множителя с=300.000 км/сек.
Некоторые следствия специальной О. т. Механика и электродинамика специальной О. т.
Принцип относительности специальной О. т. требует, чтобы уравнения механики и электродинамики были инвариантны по отношению к Лоренцовым преобразованиям. Поскольку уравнения Ньютоновой механики инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея — Ньютона, то очевидно, что в механике специальной О. т. (т. н. релятивистской механике) получаются существенно новые соотношения.
Правда, почти все эти соотношения как релятивистской механики, так и электродинамики (как, напр., связь между массой и энергией, зависимость массы от скорости и др.) были в более ограниченной форме найдены еще до появления О. т. Но заслугой О. т. является то, что она получает эти результаты с единой точки зрения.
Весьма важным следствием из Лоренцовых преобразований является закон сложения скоростей, заключающийся в следующем: пусть некоторое тело движется относительно системы отсчета (К') с нек-рой постоянной скоростью и'; пусть, далее, эта система отсчета движется относительно другой системы отсчета (К) со скоростью v. Тогда из преобразования Лоренца следует, что скорость тела относительно системы К равна и= (9) 1+“-2 С2
Эта формула приводит к следующему важному заключению. Пусть слагаемые скорости и' и v имеют значения, близкие к величине скорости света с; тем не менее мы для результирующей скорости и получим значение, меньшее с.
Пусть теперь и и и v равны с; в таком случае и и будет равна с (но не больше с). Отсюда, во-первых, следует, что скорость света в пу-
