особое решение для обыкновенного дифференциального уравнения порядка выше 1 — го.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, М. — Л., 1038. См. также лит. к ст. Дифференциальные уравнения.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ дифференциальных уравнений. Если дифференциальное урав„ dy нение 1 — го порядка представлено в виде = Y (х = и если в точке (ж0, 2/0) имеем X (ж0, Уо)=
Y (Жо, 2/о)=°, то (VJ0) есть О. Т. дифференциального уравнения. К этой точке неприменима теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Если в окрестности О. т. (О, 0) X и Y имеют вид: Х=ах + by — 1 — член высшего порядка, Y=cx + + й1/+член высшего порядка, то характер О. т. определяется характером корней уравнения A2-(a + d) Z+ ad-bc=O. Если оба корня действительны и одного знака, все кривые в окрестности О. т. входят в нее с * определенной касательной, О. т. есть узел (рисунки 1 и 2); если корни действительны и разных
знаков, то две кривые проходят через О. т., а расположение остальных имеет вид, как в семействе гипербол (ху=±С), О. т. называется седловиной (рис. 3). Если, корни команд ексные сопряженные, то кривые приближаются к О. т. в виде спиралей с бесконечным числом оборотов, О. т. есть фокус (рис. 4).
Наконец, в случае чисто мнимых корней, кроме фокуса, может представиться случай центра: О. т. окружена семейством замкнутых интегральных кривых (рис. 5). Если разложения XиYв ряде Тейлора начинаются с членов порядка выше 1 — го, то могут представиться более сложные О. т. Исследование О. т. начато Пуанкаре (1881) и продолжено Бендиксоном (1900), к-рый вместо вышеприведенного уравнения исследует эквивалентную систему — X (ж, у), Y (®, уУ если рассматривать t как время, то О. т. дает решение ж=ж0, у=у& — положение покоя. Теория может быть отчасти распространена на систему п уравнений.
В комплексной области О. т. впервые исследовались для дифференциальных уравнений 1 — го порядка Врио и Буке (1853); здесь ставится вопрос о существовании голоморфных решений в области О. т. и о характере других решений. Для линейного уравнения ^/(w) + + Pi (х) У{п~1} + ... +рп(ж) 2/=0, где (ж) — аналитические однозначные функции в окрестно 472
сти значения ж=ж0, О. т. дифференциального* уравнения суть О. т. коэффициентов (ж);, если для Pii(x) О. т. есть полюс порядка не* выше fc, то имеет место регулярная О. т.;. эти точки исследованы Фуксом; в их окрестности решения представлены в виде рядов: [а0+ «1 (® — х0) + а2(х — ж0) 2+ ... ], где г — постоянный корень некоторого алгебраич. уравнения; в случае кратных корней этогоуравнения в решение входят также члены, содержащие In (ж — ж0). — О. т. кривых см. Кривые.
Лит.: Степанов В. В., Курс дифференциальных: уравнений, M. — Л., 1938. См. также лит. к ст. Дифференциальные уравнения. в. Степанов.
ОСОБЫЙ РАЙОН КИТАЙСКОЙ РЕСПУБЛИКИ..
В результате соглашения между ЦК компартии Китая и Гоминьданом (23/IX 1937) о сотрудничестве в ц'елях установления единого* национального фронта против японских захватчиков, основной советский район Китая расположенный в пределах провинции Шэньси, Ганьсу и Нинся, был преобразован в Особый район китайской республики, подчиняющийся постановлениям центрального правительства, но сохранивший все социальноэкономические преобразования, осуществленные в районе в советский период. За годьь Советской власти в районе были проведены: конфискация помещичьих земель и их безвозмездное распределение среди батраков, безземельных и малоземельных крестьян, законодательное ограничение рабочего дня, былш улучшены условия труда, повышена заработная плата, уничтожена кабальная задолженность крестьянства, оказана ему широкая' помощь в обработке земли, широко развернулась культурная работа среди всего населения и профсоюзная — среди трудящихся. Органы власти О. р. (сельские, волостные, уездные и всего О. р.) были избраны после его реорганизации на основе широко демократии, системы — активным и пассивным избирательным* правом пользуются все, достигшие 18 лет без различия, пола, религии, классовых и пр. различий, выборы производятся прямым и тайным? голосованием. В итоге демократии, выборов, все органы власти О. р. состоят из наиболее* авторитетных избранников народа, в подавляющем большинстве — -рабочих и крестьян.
О. р,. занимает территорию в 100 тыс. км* с населением ок. 2 млн. чел. Столица О. р. — Яньань, ставший крупным культурным центром Китая и важнейшим центром подготовки? антияпонских военных и политич. кадров* (Военно-политическая академия, Северо-шэньсийский колледж, партийная школа китайской компартии, педагогический ун-т и пр.). — Основой экономики района является сельское* хозяйство, гл. обр. земледелие (посевы ржи„ бобов, кукурузы, проса и пр.) и отчасти скотоводство. Район богат ископаемыми (углем нефтью,. солью и пр.), добыча к-рых ведется r пределах местных потребностей. В известной степени развиты кустарные промыслы. Социально-экономич. преобразования, проведенные? Сов. властью, послужили отправным пунктом» для дальнейшего хозяйственного и культурного строительства О. р. Его экономика развивается в интересах оборонительной войны.
Продолжают улучшаться, условия существования трудящихся. Массы энергично мобилизуются для сопротивления Японии. Оборона района осуществляется частями VIII Народно-революционной армии и вооруженными отрядами
