ОПРЕДЕЛИТЕЛИстоит из первых слагаемых, а в другом — из вторых слагаемых; так, например: «И «12 ^1+^1
«21 «22 ^2~Ь ^2
«11 «12 ^1
«11 «12.^1
=
«31 «32 ^з+ ? 3
«21 «22 ^2
+
«31 «32 ^3
«21 «22 ^2 «31 «32
6) О. не изменяется, если к элементам одной строки прибавить элементы другой, умноженные на произвольный множитель; то же справедливо и для столбцов; так, например: «11 «12 «13 «14
«И «12 «13
/С«ц «14
«21 «22 «23 «24
«21 «22 «23
fc«21 «24
«31 «32 «33 «34
«31 «32 «зз
/с «31 «34
«41 «42 «43 «44
«41 «42 «43
капдения складываются. Так, напр., произведение двух определителей третьего порядка будет: 1 2 3 1 1 1 8 6 9 3 1 2 . 2 1 1 = 7 6 6 = -3.
1 1 1 1 1 2 4 3 4 См. также Матрица.
В математическом анализе О. систематически используются после работ Якоби (вторая четверть 19 в.), который исследовал О., элементы к-рых являются не числами, а функциями от одного или нескольких переменных. Из таких О. наибольший интерес представляет определитель Якоби (якобиан, функциональный О.)
«44
7) О. может быть разложен по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца.
Разложение О. (3) по элементам г-ой строки имеет следующий вид: «11 «12
•
«21
«22
•
«г'1
«/2
•
• .
•
«1М
.
«2М
• . ain = Д1«л+
+ • • • + Ainain.
«М1 «М2 • . . апп Коэффициент Aik, стоящий при элементе aik при разложении О. по элементам г-ой строки или fc-го столбца, называется алгебраическим дополнением этого элемента. Алгебраическое дополнение может быть вычислено по формуле: Дл = (-1) г+лДа, где Dik — минор (подопределитель, субдетерминант), дополнительный к элементу aiJc, т. е. О. порядка п — 1, получающийся из данного О. посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент aiJs. Например, разложение О. третьего порядка по элементам второго столбца имеет следующий вид:
«11«12«13 «21«23
«31«33
«22
«31«33
«82
«21«23
9/1
0/1
дх2
0хп
df2
0/2 0х2
0/2
0X1
0/м
0/п
Oxi
0х2
- -дхп
dfn дхц
’
равенство нолю этого О. является необходимым и достаточным условием для того, чтобы между функциями fi(Xlf я2, ..., ®w), f2(xlf х2, ..., хп)> ®2, •••, %п) от независимых переменных xlf х2,..., хп существовала зависимость.
Во второй половине 19 в. возникает теория О. бесконечно-большого порядка. Бесконечными О. называются выражения вида «11
«12 «13 •
• •
«21
«22 «23 •
• •
«31
«32 «33 •
• •
(односторонний бесконечный О.) и • • •
«-2, — 2 « — 2, — 1 « — 2, 0 « — 2, 1» « — 2, 2 •
• •
• «-1, — 2 «-1, — 1 «-1, 0 «-1, 1 «-1, 2
• •
• «
0, — 2 «
0, — 1 «
0, 0 «
0, 1 «
0, 2 *
.. «
1, — 2 «
1, — 1 «<
1, о «
1, 1 «
1, 2 *
• • • «
2, — 2 «
2, — 1 «
2, 0 а
2, 1 «
2, 2 •
.
«11«13
«11«13
«12+
«21«22«23
0/1
Oxi
«31«32«33
Посредством разложения по элементам строки или столбца можно вычисление О. n-го порядка привести к вычислению п определителей порядка п — 1. Так, вычисление О. пятого порядка приводится к вычислению пяти О. четвертого порядка; вычисление каждого из этих О. четвертого порядка можно в свою очередь привести к вычислению четырех О. третьего порядка (формула для вычисления О. третьего порядка приведена выше). Однако этот метод вычисления О. (так же как и другие методы) практически применим (за исключением простейших случаев) лишь для сравнительно небольших порядков; например, уже для вычисления О. порядка 10 пришлось бы вычислить 10—9-8—7-6—5-4 = 604800 определителей третьего порядка. Попытки найти методы приближенного вычисления О. нельзя пока еще считать успешными.
Отметим еще правило для умножения двух О.
n-го порядка: произведение двух О. n-го порядка может быть представлено в виде О. того же n-го порядка, в к-ром элемент, принадлежащий г-ой строке и fc-му столбцу, получается, если каждый элемент г-ой строки первого множителя умножается на соответствующий элемент fc-ro столбца второго множителя и все эти произве (двусторонний бесконечный О.). Бесконечный О. (5) есть предел, к к-рому стремится О.
«12
•
•
•
«1И
«21 «22
•
•
•
«2М
«М1 «М2
•
•
•
«ММ
«11
при бесконечном возрастании числа п. Если этот предел существует, то определитель (5) называется сходящимся, в противном случае — расходящимся. Исследование двустороннего бесконечного О. иногда можно привести к исследованию некоторого одностороннего бесконечного О. Бесконечные О. обладают многими свойствами, аналогичными свойствам О. конечного порядка. Из многочисленных разделов, науки, где встречаются бесконечные О., необходимо отметить прежде всего теорию интегральных уравнений (см.).
Теория О. конечного порядка создана в основном работами математиков второй половины 18 в. и . первой половины 19 в. — Крамера, Вандермонда, Лапласа, Гаусса (которому прицадлежит название О.), Коши, Якоби. Основания теории бесконечных О. принадлежат Хиллу, Пуанкаре и Коху.
Лит.: Виноградов С. П., Основания теории детерминантов, 4 изд., М. — Л., 1935; Каган В. Ф.»
