МЕХАНИКАаксиомы М. Тем самым опровергается положение Маха о равнозначности принципов М. В процессе своего развития М. (как и любая наука) открывает все более общие и существенные закономерности. Неверно также, будто любая задача М. решается при помощи любого принципа.
Мах совершенно извратил историюМ. в угоду своей реакционной философии; антинаучность махистских концепций исчерпывающе показана Лениным (см. Лени н, Материализм и эмпириокритицизм, Соч. т. XIII).
IV. Принципы и методы современной механики.
Статика. Основной задачей статики является приведе ние данной системы сил, приложенных к твердому телу, к простейшему виду. Задача эта имеет различные решения. Наиболее простое решение Пуансо сводится к следующему: если к данному телу в точках (<=1, 2....... п) приложены силы ^х, то действие их эквивалентно действию одной силы В, равной по величине и по направлению геометрической (векторной) сумме приложенных сил F^: п
R = F1 + F2+ .. Л+Лп=Fi 1=1 и приложенной в произвольной точке О тела (полюс системы сил), и одной паре с моментом (см.) т0, равным геометрической сумме моментов приложенных сил относительно произвольно выбранного полюса О: пmo(-Fx).
i=l Векторы В и называют соответственно главным вектором и главным моментом системы сил F^. Главный вектор не зависит от выбора центра приведения системы сил, главный момент зависит от выбора этой произвольной по существу точки. В общем случае можно так выбрать центр приведения, что главный момент будет параллелен главному вектору. Это будет соответствовать приведению заданной системы сил к силе и паре, плоскость к-рой перпендикулярна к линии действия силы. Такая совокупность усилий носит название винта или динамы; линия действия главного вектора при этом будет винтовой осью. Точки винтовой оси обладают тем свойством, что если их принимать за полюсы, то главный момент при этом будет минимальным. Общая теория винтов была разработана Боллом (R. Ball, 1840—1913) в его «Theory of screws» (Дублин, 1876). Другим решением задачи о приведении системы сил к простейшему виду является приведение ее к двум силам (Шаль-Мебиус); это решение, однако, не получило широкого распространения.
Условия равновесия тела под действием данной системы сил заключаются в равенстве нолю главного вектора (R — 0) и главного момента сил (ш0—0) (при любом центре приведения). Обычно при аналитич. решении задач эти два векторных условия пишут в проекциях на три произвольно выбранные оси координат: п , п п m= mo(JP’i) 4—7М'0(^, 2) + ••• + mo(Fn)=
2 ’*»-•. i=l 2 к»=о — i=l 2 Ffe”0’
i=l
n n n 2 m»x(Fi) = 0, 2m«J,(f’«) = 0, 2m°2(-Fi)’
(1)
причем вычисление проекции момента силы на ось тояС₽7) заменяют более простым вычислением момента силы относительно оси тпж(Ег). Под последним моментом понимают момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Наличие шести уравнений равновесия позволяет определять в статич. задачах шесть неизвестных величин (обычно проекций опорных реакций тела, нагруженного данной системой сил, или других неизвестных сил). Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной, а неизвестные силы — статически неопределимыми. Без дополнительных сведений об упругих свойствах опор задача остается неопределенной. — При чисто аналитич. методе система сил задается координатами точек приложения сил у£, 2i) и проекциями сил Fix, F(y, Fiz-, тогда вторая строка условий равновесия (1) принимает вид: п п — XiFfs)=aO9
^2i=i В частном случае плоской системы сил, т. е. системы сил, лежащих в одной плоскости, условия равновесия сводятся к трем уравнениям равновесия [обычно к двум уравнениям проекций на оси координат системы (1) и одному уравнению моментов сил относительно точки, лежащей в плоскости сил, или же к трем уравнениям моментовотносительно трех точек в плоскости сил, не лежащих на одной прямой]. — Уравнения (1) и (Г) позволяют определить координаты центра тяжести тела С(хс, ус> хс)> 1 п 1 п Хс==~Р W’ Ус.= ~р^ PiVi» i=i ? <=1 п
п7с=т2 i»=i
р=2 Pii
i=i т. е. точки приложения равнодействующей Р всех сил веса р/ отдельных частиц тела, имеющих координаты (Xi, Уг> Вычисление координат центра тяжести представляет задачу интегрального исчисления. — При решении задач на равновесие сложных систем тел (напр., ферм, мостов и других сооружений) вместо составления и решения большого числа уравнений предпочитают применять графич. методы (см. Графостатика). Эти методы чрезвычайно просты в случае плоских систем сил и более сложны для пространственных систем. Графостатика пространственных систем разрабатывается лишь в самые последние годы; в ее развитии намечаются два направления: применение методов начертательной геометрии (см.) (ортогональные проекции), с одной стороны,, и разработка особых приемов изображения пространственных систем сил на плоскости — диаграммы Майора (Мауог> и Мизеса (Mises) — с другой. В настоящее время статика твердого тела рассматривается как область механики, в к-рой все основные задачи уже решены, причем методы, этих решений вполне удовлетворяют запросам практики, (в тех пределах, в каких вообще можно ограничиться понятием твердого тела).
Кинематика. Движение материальной точки задается законом изменения ее координат (Декартовых или любых криволинейных) со временем. Если (i=l, 2, 3 в пространстве, <=1, 2 на плоскости или заданной поверхности, i=l на заданной линии) — координаты точки, то уравнения Qf=gx(t), где t — время, называются уравнениями движения точки. В частности, в прямоугольной Декартовой системе координат уравнения движения будут: х = /1(0, 1/ = /2(0, 2' = /з(0.
(2> Исключая в этих уравнениях время, определим геометрическое место положений точки в различные моменты времени в пространстве, или траекторию точки. Положение точки М в пространстве задается векторомрадиусом г= ОМ точки М по отношению к началу системы обсчета OXYZ. Задавая г как вектор-функцию от времени г = r(t), получим векторное уравнение движения.
Годографом (см.) вектора r(t) служит, очевидно, траектория движения точки. Траектория, пройденный путь, скорость и ускорение (см. Кинематика) являются кинематич. мерами движения материальной точки. — Простейшими случаями движения твердого тела являются его поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси. При поступательном движении тела, т. е. при таком движении, при к-ром любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе, все точки имеют одинаковые скорости и ускорения и описывают одинаковые траектории; таким образом, этот случай движения твердого тела эквивалентен движению материальной точки.
Положение тела; вращающегося вокруг неподвижной оси, вполне определяется углом поворота; под последним понимают двугранный угол между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения: одной — жестко связанной с вращающимся телом, другой — неподвижной, связанной с системой отсчета (или соответствующий линейный угол). Уравнение, связывающее этот угол поворота <р со временем t: называют уравнением вращения тела. Быстрота изменения угла поворота со временем определяется угловой скоростью вращения а> (размерность — радианы в секунду или 1/сек.). Очевидно, d<p _
a=di=^Угловая скорость со как вектор направляется по оси вращения в ту сторону, откуда вращение представляется положительным. Линейная или окружная скорость точки М вращающегося тела определяется векторной формулой (г — радиус-вектор точки М относительно какой-нибудь точки О на оси) _ v=[co, r], v = (o*h, где h — кратчайшее расстояние точки М до оси вращения.
Быстрота изменения угловой скорости со временем опре — do деляется вектором углового ускорения е = - — при UI этом полное ускорение w будет равно: W = [в, г] + [со, V] = [в, г] 4- [со, [со, г]] Первое слагаемое представляет вращательное ускорение и равно по величине | е | • h, второе — центростремительное ускорение, оно равно по величине со2 . h и направлено
