развития науки происходит в эпоху империализма, в эпоху господства глубокой реакции и мистики в буржуазной культуре.
Математический алгоритм. После того, как выделен (отвлечен от действительности) определенный круг математических форм и отношений, возникает математич. теория, посвященная их изучению, развитие к-рой подчинено уже своим собственным внутренним закономерностям. К внутреннему устройству такой математич. теории, занимающейся строго ограниченным кругом форм и отношений действительного мира, мы и обращаемся. В пределах каждой математич. теории нашей окончательной целью является полное овладение избранным кругом форм и отношений вплоть до создания регулярного метода — алгоритма, позволяющего по определенным правилам, совершенно автоматически, получать ответы на все вопросы, могущие возникнуть по поводу этих форм и отношений. Так, теория решения алгебраических уравнений заканчивается правилами, которые позволяют: 1) установить, выражаются ли корни уравнения конечной алгебраич. формулой; 2) если такое выражение возможно — найти его; 3) во всех случаях найти приближенное значение корней с любой наперед заданной точностью. Если в решении алгебраич. уравнений этот идеал, отвлекаясь от возможных дальнейших упрощенцй алгоритма, достигнут, то во многих случаях он представляется еще очень отдаленным, однако в качестве конечной цели он сохраняет свою силу для любой области математики.
Математический алгоритм находит свое внешнее выражение в соответствующей системе символической записи. Только с создайием разработанной математической символики (по поводу ее развития см. Знак математический) самое понятие математич. алгоритма получило полную определенность. По современным представлениям математич. алгоритм состоит из: 1) конечного числа основных понятий, изображаемых специальными знаками. 2) Конечного числа, способов комбинирования основных понятий, также изображаемых специальными знаками, к-рые позволяют образовывать сложные понятия и предложения (суждения). Например, в алгебре буквы обозначают числа; соединяя буквы знаками +, —, х,:, получают алгебраич. выражения, также выражающие числа; соединяя же алгебраические выражения знаками =, >, <, получают уже равенства и неравенства, т. е. известные предложения о числах. Сложные понятия и предложения записываются, таким образом, комбинациями основных знаков. Комбинации знаков, выражающие предложения, называются формулами.
3) Конечного числа правил вывода, выражающихся в виде правил составления и преобразования формул (по типу правил раскрытия скобок, приведения подобных членов и т. п. в алгебре). Таким образом, математич. символика позволяет заменить вывод математич. предложений автоматич. преобразованием формул по определенным правилам, т. е. вычислением. В понятие математич. алгоритма в настоящее время включаются и общие правила вывода формальной логики (вроде принципа силлогизма), употребляемые в математич. доказательствах (о соответствующей этой общелогической части математич. алгоритма символике см. Логика математическая). В этом широком смысле, охватывающем все нужныедля решения математич. проблемы правила формального вывода, мы и будем понимать далее термин «алгоритм». При этом в дальнейших общих рассмотрениях для нас не существенно — является ли алгоритм до конца символизированным или его применение частично, или даже полностью, осуществляется в словесной форме. — В математической теории, подчиненной одному универсальному в ее пределах алгоритму, любые две последовательности разрешенных этим алгоритмом операций должны приводить к согласованным результатам: если бы правила алгебры позволяли для одних и тех же выражений А и В доказать одним способом А — В, а другим А=£В, то самый смысл существования алгебры исчез бы. Математическая теория, допускающая единый алгоритм для решения ее проблем, подчинена, таким образом, безусловному требованию внутренней формальной непротиворечивости. Следует лишь помнить, что, будучи безусловным, это требование чисто отрицательно: существует бесконечное множество возможных непротиворечивых теорий, которые могут оказаться совершенно бессодержательными. Положительным образом содержание математич. теории определяется требованием соответствия ее действительности. — В истории М. известно много случаев, когда новые математич. теории, находящиеся во вполне реальном противоречии с основными положениями старых теорий, далеко не сразу оказывались в состоянии избежать и внутренних формальных противоречий. Так, понятие суммы бесконечного ряда качественно отлично от понятия конечной суммы; очевидный для конечных сумм принцип независимости суммы от порядка слагаемых теряет свою силу для бесконечных рядов и т. д. Поэтому отсутствие формально законченной теории суммирования бесконечных рядов в течение долгого времени не только создавало угрозу возможных ошибок, но и приводило фактически к ошибкам даже в работах крупных математиков (например, Абель). Точно так же дифференциальное исчисление возникло сначала, по упоминавшемуся выше выражению Маркса, в форме «мистического дифференциального исчисления», а окончательно сложилось в формально безукоризненную систему, допускающую безошибочное оперирование по строго определенным правилам, спустя лишь более столетия.
Из всего предшествующего изложения ясно, что было бы совершенно необоснованным надеяться заключить всю М. в один всеобъемлющий алгоритм. Чтобы охватить новые количественные и пространственные формы (а запас их неисчерпаем), приходится создавать новые алгоритмы. Можно ли, однако, даже уже в пределах того или иного строго отграниченного круга форм, т. е. в пределах одной математич. теории, всегда рассчитывать на создание универсального алгоритма, отвечающего на все вопросы данной теории, т. е. можно ли создать систему формально-логических правил, позволяющую, путем их последовательного применения, получить ответ на любой вопрос данной теории? Фактически создание такого универсального алгоритма не достигнуто даже в простейших случаях. Например, структура натурального ряда чисел вполне определена давно сформулированной системой аксиом.
Поэтому в чистой теории чисел мы имеем дело со строго отграниченной и замкнутой матема13*
