природе М-. Субъективные идеалисты нам скажут, что количественные и порядковые числа обозначаются одними и теми же знаками: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., а арифметика и имеет дело только с этой последовательностью знаков. Объективный идеалист' заявит, что числа, как некие, независимые от материального мира, сущности, сами в себе не являются ни количественными ни порядковыми. Материалистич. разрешение вопроса таково: арифметика изучает не изолированно отдельные числа, а взаимоотношения между числами, иначе говоря, внутренние свойства системы чисел; устройство же системы количественных натуральных чисел и системы порядковых натуральных чисел совершенно одинаково: каждому количественному натуральному числу соответствует вполне определенное порядковое натуральное число и наоборот; основные арифметические действия — сложение и умножение — имеют разный смысл для количественных и порядковых чисел, но, складывая порядковые числа, соответствующие двум количественным числам, получают порядковое число, соответствующее сумме взятых количественных чисел. На языке современной М. две такие системы элементов с одинаковым внутренним устройством называются изоморфными (см. определение этого понятия далее в разделе «Аксиоматический метод»). Мы сталкиваемся здесь с частным случаем одной из руководящих идей новейшего развития М.: изоморфные системы объектов могут и должны служить предметом изучения одной общей теории, сколь бы собственная природа объектов, образующих эти системы, ни была различна. В частности, чистой арифметике безразлично, изучает ли она систему количественных натуральных чисел или систему порядковых натуральных чисел, так как их внутреннее устройство тождественно, или, точнее говоря, чистая арифметика изучает общую форму обеих этих систем. Мы поднимаемся здесь на вторую ступень абстракции: некоторая система форм и отношений действительного мира сама рассматривается с точки зрения своей формы.
Охарактеризованная только-что вторая ступень абстракции существенно необходима для достижения понятия действительного числа, понятия, с которым так и не справилась М. древнего мира. Если в конечном счете эта ограниченность античной М. должна быть сведена к примитивности производственных отношений и технич. уровня древнего мира, то известную роль здесь сыграли и принципиально ограничительные тенденции платоновской философии. Обращая действительное положение вещей, Платон считал числа и геометрич. формы первоначальными сущностями — идеями, через причастность к к-рым материя только и получает определенные формы. Так как сами идеи абсолютны и независимы, то идеям об идеях Платон уже не приписывал независимого существования (см., например, Парменид, 132, А — В), а именно только в этой форме (идей об идеях) могли бы найти свое место в рамках платоновской философии действительные числа во всей их общности (т. е. включая иррациональные числа). — По существу те же самые ограничительные тенденции лежат в основе современных течений идеалистич. философии М. — интуиционизма и формализма. Принци опиальная новизна второй ступени абстракции и главная причина сомнений в ее закономерности заключается в том, что она неразрывно связана с явным введением в М. бесконечного. Конечно, уже первая ступень абстракции доставляет нам бесконечное множество количественных форм. Однако здесь эта бесконечность выступает еще чисто отрицательным образом. Так, элементарная арифметика, констатировав, что запас натуральных чисел не ограничен, в дальнейшем употребляет в каждой отдельной задаче лишь конечное множество чисел. На второй же ступени абстракции бесконечные системы (множества) объектов, полученных на первой ступени, сами делаются предметом изучения и рассматриваются как исходный пункт дальнейшей абстракции. Так, пропорциональность двух пар отрезков (а : Ъ = а': Ь') определяется, по Эвклиду, при помощи бесконечного множества числовых неравенств (а : Ъ = а' : если для любых натуральных чисел п и m из па > mb вытекает nar > mb' и из па < mb вытекает па' < mb'). Понятие действительного числа как чистого отношения возникает в результате абстрагирования того общего, что имеется у всех пар отрезков, связанных пропорциями а:Ь = =а': Ъ'=а" : Ь" = а'" : Ъ"'= — Отделить понятие действительного числа как чистого отношения от понятия пары отрезков (или других величин) и сделать его предметом самостоятельного рассмотрения, начать действительные числа сами по себе складывать, умножать, возводить в степень и т. д., — это и значит подняться на вторую ступень абстракции. Но этого так и не сделал Эвклид и вообще математика древнего мира. Более распространенные теперь другие способы логического построения теории действительных чисел содержат неизбежно аналогичное обращение к бесконечному. Поэтому континуум действительных чисел и стал основной мишенью критики современных идеалистич. философов М.
(Брауэр, Вейль и др.).
Дальнейшие ступени абстракции после второй (напр., рассмотрение произвольных множеств действительных чисел, классов этих множеств ит. д.) уже не представляют ничего принципиально нового. С точки зрения материалистич. диалектики не представляет, однако, ничего удивительного, что этот неограниченный ряд нагромождений одной абстракции на другую нельзя мыслить себе в качестве законченного. Это и обнаружилось в современной теории множеств (см. Парадоксы математические). Неуменье диалектически справиться с этим обстоятельством сыграло большую роль в распространении в новейшей буржуазной философии М. уже упоминавшихся ликвидаторских течений, готовых из страха «дурной бесконечности» выкинуть из М. все, явно опирающееся на понятие бесконечного множества, вплоть до действительных чисел.
Говоря об идеалистических направлениях в современной философии М., мы отметили лишь те стороны в развитии математич. абстракций, к-рые служат внутренним поводом для появления идеализма в М. Но, разумеется, корни современного идеализма в философии М. те же, что и у «физического» идеализма. Они с исчерпывающей полнотой вскрыты Лениным в его «Материализме и эмпириокритицизме», в данном им анализе кризиса физики 20 в. Эти корни идеализма заключаются в том, что ломка старых отживших понятий в ходе современного
