воначального и основного объекта изучения современной алгебры; алгебра является теперь общей наукой об операциях (действиях) над элементами любой природы или вернее наукой о системах элементов любой природы, допускающих совершение над ними операций, подчиненных известным общим условиям. Чистая алгебра в современном понимании не имеет дела с непрерывностью. Понятие непрерывной величины послужило исходным пунктом другого ряда обобщений. Если до 19 в. реальный смысл приписывался лишь величинам, измеряемым действительными числами, то более глубокое изучение явлений природы и технических проблем в 19 в. неизбежно привело к более. общим видам величин, к-рые лишь искусственно заменяются действительными числами. Скорость, по существу, есть вектор (см.), т. е. новая величина, лишь искусственно разлагаемая на компоненты, соответствующие координатным осям. Состояние упругого напряжения в какой-либо точке деформированного твердого тела при введении координатной системы может быть охарактеризовано шестью числами (три растяжения по направлениям осей и три кручения), но по существу есть новая неразложимая величина (симметричный тензор). Новейшая же квантовая механика характеризует состояние системы всегда бесконечно-мерными величинами, к-рые лишь искусственно приводятся к выражению через действительные или комплексные числа (при помощи бесконечных матриц) или функции с числовыми значениями и аргументами (при помощи волновых функций). Создаются различные теории n-мерных величин. В форме векторного исчисления и тензорного исчисления (см.) они делаются неизбежным аппаратом современных физических исследований. Что касается бесконечно-мерных величин, то они составляют предмет'еще более молодой ветви М. — теории линейных пространств. Самый термин «величина» оказывается для этих обобщений искусственным и в применении к бесконечно-мерным образованиям мало распространен. По существу, мы имеем здесь дело с таким же образованием новых количественных форм, как и в современной алгебре.
Изучение общих алгебраических полей, с одной стороны, и многомерных величин — с другой, дает возможность понять исключительную и в известном смысле завершающую роль поля комплексных чисел, получивших еще на границе 18 и 19 вв. реальное истолкование при помощи векторов на плоскости. Расширение системы чисел (присоединение к древнейшим натуральным числам чисел отрицательных, дробных, иррациональных, комплексных) происходило под давлением двух потребностей — измерения новых типов величин, с одной стороны, и неограниченной возможности совершать алгебраич. операции (четыре основных действия и решение алгебраич. уравнений), сохраняя при этом основные законы действий, с другой. Теперь обнаружилось, что комплексные числа являются тем последним этапом в расширении понятия числа, до к-рого эти тенденции действуют совместно.
В частности, n-мерные непрерывные величины при п>2 не могут привести к новой системе «чисел», сохраняющих все обычные алгебраич. свойства (т. е. образующих т. н. коммутативное алгебраич. поле).
Аналогично геометрия превращается в 19 и 20 вв. все более в науку о «пространствах» любого числа измерений и состоящих из элементов любой природы. Во избежание недоразумений следует сразу ясно определить отношение этих многочисленных математич. пространств к единственному реальному пространству.
Прежде всего мы получаем различные математич. пространства, абстрагируя отдельные черты, присущие реальному пространству, и отвлекаясь от неисчерпаемого запаса другихего конкретных свойств. Такое отвлечение, по существу, было необходимо уже на первых шагах изучения геометрич. преобразований. Рассматривая то или иное преобразование, как отображение пространства на самого себя, приходится рассматривать само пространство как систему (множество) некоторых элементов, принимаемых за основные. Если за основные элементы принимаются точки, то говорят о «точечном пространстве». Однако, изучая геометрич. преобразования, переводящие прямые в прямые (и, вообще говоря, не оставляющие точки точками), столь же естественно принять за основные элементы прямые, приходя, так. обр., к понятию «линейчатого пространства». Но если точечное пространствотрехмерно, то «пространство» прямых — четырехмерно. В теории касательных преобразований за основные элементы принимаются «линейные элементы», многообразие к-рых пятимерно. Так, понятие многомерного пространства (см.) получает реальный смысл, не имеющий ничего общего с вульгарными поисками «четвертого измерения» спиритов.
Не только выбор основных элементов определяет собой разнообразие математич. «пространств». Понятие того или иного специального «пространства» ограничивается и тем кругом отношений, которые рассматриваются между его элементами. Например, в «проективном пространстве» рассматриваются только отношения инвариантные при проективных преобразованиях ит. д. Признавая лишь единственное реальное (трехмерное) пространство, мы должны считать различные математич.
«пространства» (трехмерное точечное эвклидова пространство, четырехмерное линейчатое пространство, проективное пространство и т. д.) с точки зрения философии лишь различными пространственными формами, отвлеченными от всей конкретности действительных пространственных отношений. Поэтому было бы философски неправильно в определении М.
(см. начало статьи) заменить «пространственные формы» самим «пространством». Изучение реального пространства в полном объеме осуществляется лишь совместными усилиями М. и физики (см. Пространство). С другой стороны, понятие математич. пространства неизбежным образом выросло за пределы только пространственных форм в собственном смысле слова. Нет никакого разумного основания отделять изучение пространств различного числа измерений, перечисленных выше, от изучения вполне аналогичных им по внутреннему устройству непрерывных многообразий другого происхождения. Например, вполне естественно изучать процесс изменения любой физической системы с n-степенями свободы, как движение изображающей ее «точки» в надлежаще определенном n-мерном «фазовом пространстве» этой системы. При объединении на основе эйнштейнова принципа относительности пространственных и временных отношений в одно целое вполне естественно за объединенным пространственно-временным четырехмерным многообразием «мировых точек» сохранить название пространства. В качестве первого по времени примера теории, на первый взгляд не имеющей ничего общего с геометрией и все же разработанной геометрич. методами, можно указать на грасмановскую теорию цветных ощущений, где каждое цветовое ощущение рассматривается как точка «простран-
