мнениями анализа, в к-рой принимают участие, кроме самого Лейбница, Валлис, Гюйгенс, Яков Бернулли (1654—1705), Иоанн Бернулли (1667—1748), Лопиталь i(1661—1704) и др. Здесь создается современный стиль математич. работы, при к-ром полученные результаты немедленно публикуются в журнальных статьях и уже очень скоро после опубликования используются в дальнейших исследованиях других ученых. — Параллельно развивается учение о бесконечных рядах. Меркатор в 1668, интегрируя по х геометрическую прогрессию — 1 — = 1 — х + х2 — х3 + ..., получает разложение в степен1+х ный ряд log (1 +х). Ньютон в 1669 получает формулу бинома для любого показателя, интегрируя разложение (l-xa) — 1/2, получает разложение arcsin х и, наконец, находит степенные ряды обратных к v = log(l+x) H у = = arcsin х функций:
В дальнейшем развитии учения о бесконечных рядах принимают участие почти все математики эпохи (Валлис, Гюйгенс, Лейбниц, Яков Бернулли и др.). Следует отметить, что авторы 1 7 в. имеют достаточно ясные представления — о понятии предела последовательности и сходимости ряда . и считают нужным доказывать сходимость употребляемых ими рядов. — С созданием координатного метода и распространением представлений о направленных механич. величинах (скорости, ускорения) понятие отрицательного числа приобрело полную наглядность и ясность. Наоборот, комплексные числа, попрежнему оставаясь лишь побочным продуктом алгебраического аппарата, продолжают быть, по преимуществу, лишь предметом бесплодных споров. С наибольшей определенностью их признавал Жирар (ум. 1632), впервые заявивший, что каждое уравнение n-ой степени имеет п корней (действительных или комплексных). — Помимо аналитической и дифференциальной геометрии, развивающихся в тесной связи с алгеброй и анализом, о чем уже говорилось выше (отметим еще введение понятия радиуса кривизны у Кеплера, изучение эволют и эвольвент у Гюйгенса и т. ft.), в 17 в. закладываются основы дальнейшего развития чистой геометрии, гл. обр. в направлении создания основных понятий проективной геометрии. Уже Кеплер говорит о втором, бесконечно-удаленном фокусе параболы.
Дезарг (1593—1662), занимаясь теорией перспективы, развивает целую систему представлений о бесконечноудаленных элементах, вводит понятие инволюции и т. д.
Теория конических сечений разрабатывается в проектив-г ном духе Дезаргом, Паскалем, Ла-Гиром (1640—1718) и др. — Из других открытий 17 века отметим: в теории чисел — формулировку принципа математич. индукции (Паскаль) и глубокие исследования Ферма, в значительной мере определившие дальнейшее развитие этой науки; разработку основных понятий комбинаторики (Ферма, Паскаль, Лейбниц); первые работы по теории вероятностей (Ферма, Паскаль), увенчавшиеся в конце века результатом большого натурфилософского значения — открытием простейшей формы закона больших чисел (Яков Бернулли); теорию непрерывных дробей [Швентер (1585—1636), Валлис, Гюйгенс]; метод неопределенных коэффициентов (Декарт); формулировку теоремы Эйлера о многогранниках (Декарт). Укажем еще на оставшееся пока без последствий сооружение Паскалем и Лейбницем первых счетных машин. б) 18 в е к. В начале 18 в. еще продолжает работать поколение создателей анализа (Ньютон, Лейбниц). Однако общий стиль математич. исследований постепенно меняется. Успехи 17 в. были в основном обусловлены новизной метода; успех создавался гл. обр. смелостью и глубиной общих идей, что сближало М. с философией. К началу 18 в. развитие новых областей М., созданных в 17 в., достигло того уровня, при к-ром дальнейшее продвижение вперед стало требовать в первую очередь искусства в овладении математич. аппаратом и изобретательности в разыскании неожиданных обходных решений трудных — задач. Из двух величайших математиков 18 в. Эйлер (1707—83) является наиболее чистым представителем этой виртуозной тенденции, а Лагранж (1736 1813), быть может, уступая Эйлеру в количестве и разнообразии решенных задач, соединил блестящую технику с широкими обобщающими концепциями, типичными для франц. школы второй половины 18 в., тесно связанной с большим философским движением франц. просветителей и материалистов. Эпоха увлечения необычайной силой . аппарата математич. анализа приводит, естественно, к вере в возможность его чисто автоматического развития, в безошибочность математич. выкладки даже тогда, когда она оперирует с символами, лишенными какоголибо смысла. Если в момент создания анализа бесконечномалых дело шло лишь о неумении логически справиться с идеями, имевшими полную наглядную убедительность, то теперь открыто принимается право вычислять по обычмым правилам с явно бессмысленными математич. выражениями, не опираясь ни на наглядность ни на какоелибо логическое оправдание законности таких операций.
Из старшего поколения в эту сторону все больше эволю 372
ционирует Лейбниц, к-рый в 1702, по поводу интегрирования рациональных дробей при помощи их разложения на мнимые простые дроби, говорит о «чудесном вмешательстве идеального мира» и т. п. Более реалистически настроенный Эйлер не говорит о чудесах, но воспринимает законность операций с мнимыми числами и с расходящимися рядами [напр., по Эйлеру, +1—1 + 2—6+24—120 + ... + ( — 1) пп! + ... = 0, 5963475922...] как эмпирический факт, подтверждаемый правильностью получаемых при помощи подобных преобразований следствий.
Понятно, что при таких настроениях логический уровень изложения основных понятий анализа бесконечномалых оказывается у Эйлера ниже не только Ньютона, но и смело обращавшегося с дифференциалами Лейбница.
Обратное течение в сторону логического уяснения основных понятий начинается во франц. школе с Д’Аламбера (1717—83). В частности, по вопросу о логических основах анализа Д’Аламбер формулирует в общих чертах вполне современные взгляды о переменных бесконечно-больших и бесконечно-малых величинах, о производной как конечном пределе отношения двух бесконечно-малых и т, д.
Окончательное детальное проведение этих идей было осуществлено лишь в 19 в. Коши. Поэтому Лагранж, неудовлетворенный незаконченными концепциями своих современников, сделал блестящую попытку отделаться сразу от всех трудностей, связанных как с самим понятием функции, так и с обоснованием анализа бесконечномалых, став на чисто алгебраич. точку зрения: он заменяет непосредственное рассмотрение функций вычислениями с их рядами Тейлора и сводит, т. о., дифференцирование и интегрирование и все дальнейшие операции анализа к алгебраич. действиям с коэффициентами рядов.
В отличие от 17 в. математики 18 в. в большинстве являются профессиональными учеными. Это люди из разных кругов общества, рано выделившиеся своими математич. способностями, с быстро развивающейся академии. карьерой (Эйлер, происходя из пасторской семьи в Базеле, двадцати лет приглашается адъюнктом в Петербургскую академию наук, двадцати трех лет делается там же профессором, тридцати семи лет становится председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук; Лагранж — сын франц. офицера — с восемнадцати лет профессор в Турине, тридцати лет становится председателем физико-математич. класса Берлинской академии наук и пятидесяти одного года становится академиком в Париже). При этом, однако, математич. естествознание (механика, математич. физика) и технич. применения М. остаются вполне в сфере деятельности математиков. Эйлер занимается вопросами кораблестроения и оптики, Лагранж создает основы аналитич. механики, Лаплас (1749—1827, сын крестьянина, восемнадцати лет — преподаватель М. в военной школе в Бомоне, двадцати лет — профессор военной школы в Париже, тридцати семи лет — член Парижской академии наук), считая себя в основном математиком, в то же время является крупнейшим астрономом эпохи и т. д.
Переходя к обзору достижений М. 18 в. по отдельным областям, начнем с теории чисел. Благодаря работам Эйлера, Лагранжа и Лежандра (1752—1833), теория чисел впервые приобретает характер систематич. науки.
Лагранж дает общее решение неопределенных уравнений второй степени. Эйлер устанавливает закон взаимности для квадратичных вычетов (см. Лежандра теорема).
При помощи разложений в непрерывные дроби Эйлер доказывает иррациональность еиеа, а Ламберт(1728—77) — иррациональность л. В алгебре Крамер (1704—52) вводит для решения систем линейных уравнений детерминанты (известные ранее Лейбницу, не опубликовавшему своего открытия). Дальнейшей разработкой линейной алгебры занимаются Лаплас и Вандермонд (1735—96). Ньютон, Эйлер, Безу (1730—83) разрабатывают теорию делимости многочленов и теорию исключения. Дальнейшее развитие алгебры упирается в необходимость доказательства основной теоремы алгебры. Эйлер рассматривает как эмпирически установленный факт существование ^ каждого алгебраич. уравнения корня вида А + В /-1. Постепенно укореняется убеждение, что вообще мнимые выражения (не только в алгебре, но и в анализе) всегда приводимы к виду А + В V — 1. Д’Аламбер доказывает, что модуль многочлена не может иметь минимума, отличного от ноля (т. н. теперь лемма Д’Аламбера), считая это за доказательство существования корня любого алгебраического уравнения. Формулы Муавра (1667—1754) (см. Муавра формула) и Эйлера, связывающие показательную и тригонометрические функции комплексных аргументов, приводят к дальнейшему расширению применений комплексных чисел в анализе. Ньютон, Стирлинг (1692—1770) и Эйлер создают исчисление конечных разностей (см. Конечных разностей исчисление). Лагранж развивает символическое исчисление, рассматривая положительные и отрицательные степени операторов d и d.
Лаплас дает общие методы решения разностных уравнений. Тейлор (1685—1731) открывает свою формулу разложения произвольной функции в степенной ряд.
В руках исследователей 18 в., особенно Эйлера, ряды становятся одним из самых мощных и гибких орудий анализа. С Д’Аламбера начинается серьезное изучение условий сходимости рядов. Эйлер, Лагранж и особенно
