что простейшие операции с дробями относятся, несомненно, еще к доисторическим временам, оказался в полном объеме непосильным М. древнего мира и был окончательно завершен лишь в М. нового времени. Если элементарная арифметика в ее первоначальной форме учит производить действия над известными (заданными нам) числами, то первой задачей алгебры (см.) явилось научиться выражать общие свойства чисел и рассуждать и вычислять с неизвестными нам числами, особенно при решении уравнений (см.). Алгебра получила большое развитие в Эллинистическую эпоху и сделалась центром математических исследований у индусов и арабов в Средние века. Развитие алгебры тесно связано с созданием алгебраического буквенного исчисления, к-рое, однако, получило свою окончательную форму лишь много позднее — в новое время. — Вычисления с неизвестными числами привели еще математиков Эллинистической эпохи к вопросу об употреблении отрицательных чисел (см.). Индусские и арабские математики, усмотрев реальный смысл отрицательных чисел в измерении направленных величин, ввели их окончательно в М. Что касается комплексных чисел (см.), так же естественно возникающих из потребностей алгебры (при решении квадратных уравнений и уравнений более высоких степеней), то их природа на рассматриваемом сейчас этапе развития М. так и осталась неясной. — Рядом с арифметикой и алгеброй развивается геометрия (см.). В своем первоначальном виде она занимается пространственными формами окружающих нас материальных твердых тел, т. е. геометрическими фигурами. Запас изучаемых геометрией геометрич. фигур постепенно растет. Еще математики древнего мира присоединили к фигурам, составляющим собственный предмет изучения элементарной геометрии (многоугольники, многогранники, круги, шары, конусы), конические сечения и некоторые другие кривые, определяемые простыми геометрич. условиями.
С самого своего возникновения геометрия тесно переплетается с арифметикой и затем с алгеброй при измерении площадей и объемов.
Потребности астрономии вызывают, далее, к жизни уже в Эллинистическую эпоху тригонометрию (см.), что существенно увеличивает роль измерения и числа в геометрии. Однако за пределами той ее части, к-рая явно связана с измерением величин (длин кривых, площадей, объемов, углов), геометрия надолго еще остается независимой от количественных понятий. Мы перечислили основные понятия и задачи, с к-рыми М. имела дело вплоть до 17 в.
В этих пределах М. действительно можно было определять как науку о числах, величинах и геометрич. фигурах. Такова первая конкретная историч. форма проявления общего определения М., данного в начале статьи.
История М. до начала 17 в. а) Египет, Вавилония. Сохранившиеся математич. тексты древнего Египта и Вавилонии состоят, по преимуществу, из примеров на решение отдельных задач и, в лучшем случае, рецептов для их решения. Иногда эти рецепты удается восстановить, лишь анализируя числовые примеры, данные в текстах. Следует говорить именно о рецептах для решения отдельных типов задач, т. к. математич. теории в смысле доказательств общих теорем, видимо, вовсе не существовало. На это указывает то, что точные решения употребляются без всякого отличия от приближенных, часто же систематически употребляются ошибочные рецепты. Тем не менее, самый зайас добытых математич. фактов был, в соответствии с высокой строительной техникой, сложностью земельных отношений, потребностью в точном календаре и т. п., довольно велик. Попапирусам первой половины 2 — го тысячелетия до хр. э. состояние египетской М. того времени рисуется в следующих чертах. Преодолев все трудности действий с целыми числами, на основе системы счисления, понятной из примера
Hwnn III =2323, египтяне создали своеобразный, но довольно сложный аппарат действий с дробями, требовавший специальных вспомогательных таблиц. Систематически решались задачи на нахождение неизвестных чисел, к-рые были бы теперь записаны в виде уравнений с одним неизвестным. Геометрия сводилась к правилам вычисления площадей и объемов. Правильно вычислялись площади треугольника и трапеции, объемы параллелепипеда и пирамиды с квадратным основанием. Наивысшим достижением в этом направлении можно считать вычисление объема усеченной пирамиды с квадратным основанием, соответствующее формуле
V=-? -(a2 + ab + b2).
Известные рецепты вычисления площади круга и объемов цилиндра и конуса соответствуют иногда приближенному значению л=3, иногда гораздо более точному л — = (у ) 2=3, 1605... Сама задача определения длины ок ружности, видимо, не ставилась.
Клинописных математич. текстов, позволяющих судить о вавилонской М., несравненно больше, чем египетских. Они охватывают период от времени Хаммураби (ок. 2000 до хр. э.) вплоть до возникновения и развития греческой М. Однако уже первые из этих текстов застают вавилонскую М. в периоде ее расцвета; дальнейшие тексты, несмотря на наличие нек-рых новых моментов, рисуют в целом скорее ее упадок. Семитическая Вавилония времен Хаммураби получила еще от сумерских ьремен развитую смешанную десятичношестидесятеричную систему нумерации, заключавшую уже в себе позиционный принцип (одни и те же знаки обозначают одно и то же число единиц разных шестидесятеричных разрядов). Напр.:
<« II« Н V = 34’60+25—2065.
Аналогично обозначались и шестидесятеричные дроби.
Это позволило совершать действия с целыми числами и с шестидесятеричными дробями по единообразным правилам. Деление при помощи таблиц обратных чисел сводилось к умножению. В более поздних текстах вычисление обратных величин доводится до восьмого шестидесятеричного знака. Кроме таблиц обратных чисел, имеются таблицы произведений, квадратов, квадратных и кубических корней. Большое количество хозяйственных записей доказывает широкое употребление всех этих средств в сложной дворцовой и храмовой хозяйственной деятельности. Существовали также сложные расчеты процентов по долгам. Имеется, далее, ряд текстов времен Хаммураби, посвященных систематическому решению задач, сводящихся к уравнениям первой, второй и третьей степени. По гипотезе О. Нейгебауера, мы имеем дело с возникновением в кругах «школ писцов», где ученики подготавливались к счетно-хозяйственной деятельности, собственно научных математич. интересов, не ограничивающихся непосредственно необходимой в практике рецептурой, а приводивших уже к созданию общих алгебраич. методов решения задач.
Тексты такого рода исчезают в более позднюю эпоху.
Зато еще далее развивается техника вычислений с многозначными числами в связи с развитием в первом тысяче? летии до хр. э. более точных методов в астрономии. На почве астрономии возникают далее первые обширные таблицы эмпирически найденных зависимостей, в к-рых можно видеть прообраз идеи функциональной зависимости. Вавилонская клинописная математич. традиция продолжается в Ассирии, персидском государстве и даже в Эллинистическую эпоху (последние клинописные тексты — ок. 200 до хр. э.). В области геометрии вавилонская М. находилась на уровне, близком к египетской.
Следует лишь отметить разработанное измерение углов и нек-рые зачатки тригонометрии, связанные, очевидно, с развитием астрономии. б) Греция. Развитие М. в Греции приняло существенно иное направление, чем на Востоке. Если в отношении вычислительной техники, искусства решения задач алгебраического характера и развития математических средств астрономии лишь в Эллинистическую эпоху был достигнут и превзойден уровень вавилонской М., то уже гораздо раньше М. в Греции вступила в совершенно новый этап логического развития. Появилась потребность в отчетливых математич. доказательствах, были сделаны первые попытки систематического построения математич. теории. В соответствии с этим М. перестала быть безличной, как она была на В.; она создается
