ИНТЕГРАЛветствующее множеству е число ^(е), обладающее следующими свойствами: 1) если множество е подразделяется на множества вх, е2, ..., ен,..., образующие конечную или бесконечную последовательность и не имеющие друг с другом общих точек, то* jM(6)=A*(ei) 4 — jM(e2) 4- ... + д£(еи) + •••;
2) д(е)>0; 3) если множества ех и е2 конгруентны, т. е. переводятся одно в другое преобразованием движения, тогде $х, 5а %п — произвольные точки, выбранные соответственно в промежутках [a, хх], [хх, х2], ...» [хи_1, Ь].
Пусть <5 — наибольшее расстояние между двумя последовательными точками деления в подразделении (1). Если взять любую последовательность подразделений, для к-рой б стремится к нолю, то сумма (6) будет иметь определенный, всегда один и тот же предел, как бы мы ни выбирали точки вх, е2, ..., еп в соответствующих промежутках. Этот предел мы называем, следуя Стильтьесу, И. функции У(х) с интегрирующей функцией и(х) и обо А*(е1)=д(е2);
4) для нек-рого определенного множества I (для нек-рого промежутка на прямой, или нек-рого квадрата на плоскости, или некоторого куба в пространстве и т. д.) /*($)=!. Борель и Лебег показали, каким образом можно определить меру д(е) для обширного класса множеств е.
Множества этого класса получили название измеримых множеств. Когда определена мера, становится возможным применить определение интеграла Дарбу. Пусть /(х) — ограниченная функция действительного переменного х, определенная на измеримом множестве е. Возьмем произвольное подразделение этого последнего на измеримые же множества ех, е2, еп. Обозначим через Mi, М2, ..., Мп и mt, m2, ..., тп соответственна верхние и нижние границы значений функции /(х) на множествах ег, е2, еп и составим суммы М1д(е1) + М2д(е2) + ... + Мид(еп), (4) ^1А*(е1)+^2Д(е2)+... 4 — ТПпД(еи).
(5) Пусть S и з — соответственно нижняя граница сумм (4) и верхняя граница сумм (5) для всевозможных подразделений. Если s=S, то их общее значение будет по определению И. § f(x) dx. Этот И. впервые был введен Лебее гом. Сам Лебег дал определение своего И. в другой форме.
Изложенная здесь форма определения была предложена Юнгом (Joung) в 1905. — О том, почему и насколько интеграл Лебега сильнее интеграла Римана, можно проследить на следующем примере. Возьмем функцию *(х), определенную в промежутке [а, Ь] и равную нолю при рациональных значениях х и единице — при иррациональных значениях х. Попытаемся получить ее И. в смысле Римана. Для этого возьмем произвольное подразделение (1). Так как во всяком промежутке есть и рациональные и иррациональные точки, то, очевидно, М1 = М2 = = ... = ЛГИ=1; m1=m2= ... =mn=0. Поэтому для произвольного подразделения (1) сумма (2) равна 1(хх — а) + + 1(х2 — хх) + ...‘ + 1 (Ь — хп_г)=Ъ — а, следовательно, и нижняя граница S этих сумм равна Ь-а; сумма же (3) равна О(хх — а) + 0(х2 — хх) + ... +о(Ь — Хп-х) — 0, следовательно, и верхняя граница s этих сумм равна 0. Таким образом, s=£S, т. е. функция и(х) не интегрируема в смысле Римана. Вычислим теперь ее И. в смысле Лебега. Подразделим промежуток [а, Ь] на два множества: множество рациональных точек и множество е2 иррациональных точек, содержащихся в этом промежутке. Определим, чему должны быть равны меры ц (ех) и д(еа) названных множеств. Известно, что множество ег рациональных точек счетно, т. е. все его элементы можно занумеровать, иначе говоря, можно мыслить их расположенными в бесконечную последовательность хх, х2, х3, •••, хп> ••• Так как в данном случае мера — это длина, то мера отдельной точки равна нолю. По первому свойству меры, мера складывается из мер отдельных точек хх, х2, ..., хп, ..., являющихся элементами множества ех, так что ^(8j)= =04—0 4-... 4—0+... =0. Что касается множества е2 иррациональных точек, то оно несчетно; расположить их в бесконечную последовательность хх, х2, ...» хте, ... нельзя. Но меру д*(е2) множества е2 легко вычислить. Мера всего промежутка [а, Ь] равна Ь — а. Отсюда по тому же первому свойству меры д(₽2)=(Ь-а) — д(бх)=Ь — а. Составим теперь суммы (4) и (5) для подразделения промежутка [а, Ь] на наши множества ег и е2. Так как множество вх состоит исключительно из рациональных, а множество е2 — исключительно из иррациональных точек, то ясно, что Мх=тх=0, М2=тп2=1. Поэтому сумма (4) равна М1А<(е1) + M2ju (е2)=0*0 + 1 (Ъ — а)=Ъ — а, а сумма (5) также равна т^л (ej + тп2д (еа)=о-О+ 1 (Ь — а)=Ь — а. Нетрудно сообразить, что никакое другое подразделение не даст ни меньшего значения для суммы (4), ни большего значения для суммы (5). Поэтому также S=b — а и s=b — a.
Таким образом, функция х(х) интегрируема в смысле Лебега, и ее И. равен Ъ — а.
Интеграл Стильтьеса. В конце 19 в. определение интеграла Римана подверглось совершенно иному обобщению, нежели то, к к-рому привело введение понятия меры множества. Это обобщение было дано Стильтьесом (Stieltjes, 1894). Пусть /(х) — непрерывная функция действительного переменного х, определенная в промежутке [а, Ь], и пусть и (х) — определенная в том же промежутке ограниченная монотонная (неубывающая или невозрастающая) функция. Возьмем произвольное подразделение (1) названного промежутка и составим сумму: / (£i) (xj-u (а)] + /($2) [u(x2) — u(xx)] + ...
(6)
значаем символом J7(x) du(x). Стильтьес заметил, что а названный предел существует и в том случае, когда ограниченная функция и (х), не будучи сама монотонной, может быть представлена в виде суммы или разности двух ограниченных монотонных функций. Функции и (х), обладающие этим свойством, и только они, характеризуются тем, что составленные для всевозможных подразделений (1) суммы I и (хх) — и (а) | + | и (х2) — и (хх) | + ... + | и (b) — u (хп_х) | имеют конечную верхнюю границу. Последняя называется полной вариацией или полным изменением функции и (х) в промежутке [а, Ь], а сама функция и(х) — функцией ограниченной вариации или функцией с ограниченным изменением в этом промежутке.
Если интегрирующая функция и (х) имеет ограниченную и интегрируемую по Риману производную и'(х), то интеграл Стильтьеса сводится к интегралу Римана по формуле: Ь Ъ (х) du(x) = J7(x) u'(x)’dx. а
а Таким образом, определение Стильтьеса представляет интерес для тех случаев, когда интегрирующая функция не имеет производной, например, когда она разрывна.
В качестве типичного примера применения определения Стильтьеса приведем вычисление статического момента.
Для простоты предположим, что дана масса, распределенная на прямой в промежутке [а, Ь], и что требуется вычислить момент этой массы относительно точки а. Обозначим через и(х) количество массы, приходящееся на промежуток [а, х]. Тогда количество массы, приходящееся на любой промежуток [х, х+. Л], очевидно, будет равно u(x + h) — u(x), а средняя плотность массы в этом промежутке будет равна . Поэтому, если существует определенная плотность массы в любой точке х, то эта плотность будет равна пределу последнего отношения при Ь->0, т. к. равна производной и'(х) от функции и(х). В этом последнем случае, как известно, момент выb ражается интегралом Римана: Г xu'(x) dx. Если же не а существует определенной плотности в любой точке, например, если в нек-рых точках сосредоточены конечные массы и потому в этих точках функция гс(х) возрастает скачками, претерпевая разрывы, то производная tt'(x), вообще говоря, не существует, и момент можно выразить Ъ только интегралом Стильтьеса J* xdu(x). Определение ина теграла Стильтьеса применимо и ко многим разрывным функциям /(х), причем интегрируемость данной функции зависит от того, какова интегрирующая функция и(х). — С течением времени определение интеграла Стильтьеса было обобщено в таком же духе, в каком Дарбу и Лебегом было обобщено определение интеграла Римана.
Интеграл Радона — Фреше. В 20 в. был найден синтез обобщения Лебега и Стильтьеса. Он был впервые указан Радоном (Radon, 1913) и получил свой окончательный вид у Фреше (Fr6chet, 1915). В основу было положено понятие аддитивной функции множества. Функцией множества называется переменная, значения к-рой соответствуют не значениям другой переменной, как это имеет место в случае функции в обычном смысле этого слова, а какимнибудь множествам. Так, например, функцией множества в является мера д(е), а также И. J*/(x) dx и т. д.
Аддитивной называется всякая функция ф(е) множества с, к-рая обладает тем свойством, что если множество е подразделяется на множества 8j, с2,..., е^,, ..., образующие конечную или бесконечную последовательность и не имеющие друг с другом общих элементов, то ?(е)=?(е1) + + ф(е2)+...+Ф(еи) 4-••• Обычно аддитивная функция множества бывает определена не для всех множеств, а лишь для того или иного определенного класса их. В только что приведенной формулировке свойства, характеризующего аддитивные функции множества, подразумевается, что фигурирующие там множества в и в., е2, ...
..., еп... принадлежат этому классу. Приведенные при-
