с каким-либо математическим объектом. Примером проективного арифметического И. может служить степень уравнения кривой, остающаяся неизменной при проективных преобразованиях. В дифференциальной геометрии основное значение имеют дифференциальные инварианты (см.), развитие теории к-рых привело к созданию тензорного анализа (см.).
С более общей современной точки зрения изложенные выше определения являются частным случаем общего понятия И. произвольной группы преобразований любой системы объектов. В этом общем понимании понятие И. принадлежит к числу основных понятий не только геометрии, но и всей математики и математического естествознания.
Впервые понятие И. было употреблено О. Гессе (Hesse, 1844), но систематическое развитие ему дал Сильвестр (Sylvester, 1851—52), предложивший и термин «И.»; дальнейшее развитие теории И. было дано в 1852—90 работами Кели (Cayley), Сальмона (Salmon), Клебша (Clebsch), П. Гордана (Gordan), Ф. Клейна (Klein) и Д. Гильберта (Hilbert).
Лит.: ЧезароЭ., Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления бесконечно-малых, ч. 1, Одесса, 1913; Граве Д., Элементы высшей алгебры, Киев, 1914; БохерМ., Введение в высшую алгебру, М. — Л., 1933; Grace J. Н., J о u n g A., Algebra of invariants, London, 1903; Weitzenbdck R., Invariantentheorie, Groningen, 1923; Klein F., Die Grundbegriffe d. Invariantentheorie und ihr Bindringen in der mathematischen Physik, 1927.
ИНВАРИАНТЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ, свойства геометрических фигур, сохраняющиеся при топологических (т. е. взаимно-однозначных и взаимно-непрерывных) отображениях этих фигур (см. Топология). Первым и самым основным И. т. является число измерений (или размерность) данной фигуры, т. е. ее свойство быть линией, поверхностью или образом трех или более измерений; топологическим отображением нельзя линию преобразовать в поверхность или трехмерный объем преобразовать в линию. Для основных, простейших геометрических образов — для многообразий (см.) и их непосредственных обобщений — общих полиэдров — теорема инвариантности числа измерений была доказана Брауэром (Brouwer) в 1911. Одним из наиболее простых И. т. геометрических фигур является число их компонент, т. е. число раздельных кусков, на к-рые фигура распадается. — Другим элементарным И. т. является свойство кривой линии быть замкнутой: замкнутую кривую (например, окружность, эллипс и т. п.) нельзя топологичеРис> 2, ски отобразить на незамкнутую (напр. на прямолинейный отрезок или спираль Архимеда). Уточнением понятия замкнутости кривой является ее порядок связности, т. е., говоря наглядно, число петель, содержащихся в данной кривой; напр., порядок связности окружности равен 1, а порядок связности лемнискаты есть 2, трехлепестковой розы (рис. 1) — 3 и т. д. Порядок связности кривой есть также топологически инвариантное ее свойство. — Наиболее важным И. т. замкнутых поверхностей (таких, как шаровая поверхность, тор и др.) является ее род. Род поверхности по определению вдвое меньше, чем число замкнутых кривых, по к-рым поверхность можно разрезать без того чтобы она распалась на части.
Так, напр., шаровая поверхность (сфера) имеетрод ноль, тор есть поверхность рода 1. На рисунке 2 изображены поверхности рода 1, на рисунке 3 — поверхности рода 2 и 3. Через род замкнутой поверхности выражается также ее эйлерова характеристика. Вообразим себе поверхность разбитою на криволинейные многоугольники таким образом, что два таких многоугольника или вовсе не имеют общих точек (не примыкают друг к другу), или имеют одну единственную общую вершину (и никакой другой общей точки), или, наконец, примыкают
Рис. з.
друг к другу по общей стороне. Если обозначить через а0, ах, а2 соответственно число вершин, сторон и самих многоугольников, то число а0 — ах4 — а2 называется эйлеровой характеристикой данного разбиения поверхности на многоугольники; оказывается, для всякой замкнутой поверхности, помещающейся в трехмерном пространстве и совершенно произвольно разбитой, как указано выше, на многоугольники, имеем а0 — а1+а2=2—2р, где р есть род поверхности. Таким образом, как бы мы ни разбивали поверхность на криволинейные многоугольники, значение эйлеровой характеристики будет всегда одно и то же: эйлерова характеристика, допуская простое выражение через род поверхности, является, так же как и род поверхности, топологическим инвариантом поверхности. Для поверхности рода ноль получаем теорему Эйлера: а0 — ах+аа=2. В случае трех — и многомерных многообразий можно говорить о порядке связности разных измерений или о т. н. числах Бетти, принадлежащих к числу самых важных топологических инвариантов. Заметим, что построение и изучение таких понятий, как размерность, порядок связности, числа Бетти и т. п.» для геометрич. образований, более общих, чем простейшие фигуры (многообразия), было произведено лишь в самое последнее время.
Лит.: А1 ехandгоffР. und Hopf Н., Тоpologie, Bdl, В., 1935.
ИНВЕНТАРИЗАЦИЯ, выявление в натуре наличия принадлежащих предприятию материальных ценностей, прав на получение их, а также обязательств, лежащих на предприятии. При И. производятся опись и оценка всех находящихся в предприятии материальных ценностей: зданий, сооружений, машин, инструментов, инвентаря, предметов обстановки, сырья, вспомогательных материалов, полуфабрикатов, готовых изделий, товаров и т. д.; устанавливается также наличие денег и ценных бумаг.
Суммы прав и обязательств предприятия определяются путем проверки документов и счетных записей, к-рые служат обоснованием этих прав и обязательств. Выявленные И. материальные ценности, права и обязательства хозяйства заносятся в «инвентарные описи», при заполнении которых производится класси-
