Зато оба первых геометра были горячими сторонниками неделимых и внесли много ясности в понимание самой их природы; их точка зрения уже приблизилась к современной: под неделимым они начали понимать уже не геометрический нуль, но «исчезающе-малое» количество той же природы, что и сама данная конечная величина. Так, в отличие от Кавальери, площадь они понимали не как «сумму ординат», а как сумму бесконечно-малых прямоугольников. Роберваль, претендовавший на самое открытие метода неделимых, дал оригинальный метод проведения касательных к кривым, по принципу уже близкий к методу флюксий Ньютона. Он описывал данную кривую с помощью движения и затем разлагал это движение на две составляющих, для которых он мог определить скорости по величине и направлению. В этих условиях скорость первоначального движения была просто диагональю параллелограмма, построенного на скоростях обеих составляющих движений, т. е. касательная к кривой оказывалась построенной. Этим способом Роберваль очень просто провел касательные ко многим кривым, дав построения, неизвестные древним. Однако несмотря на обогащение новыми идеями, выходящими из рамок античных рассуждений, одна крайне существенная черта сближает путь античных геометров и метод неделимых: это — все то же отсутствие общности. Каждое построение касательной, хотя бы и очень простое, дается методом глубоко частным, пригодным только для данной кривой и нй для какой другой. Общности и общего алгорифма здесь так же нельзя искать, как и у античных геометров.
Появление алгорифма в геометрии, Новое в этом смысле начинается с Декарта (1596—1650). Создание им аналитической геометрии (см.), т. е. метода характеристики кривых линий посредством уравнений, впервые ввело общность в геометрические вопросы.
Отныне исчезает уже та зависимость геометрических выводов от частного расположения деталей в данном чертеже, которая столь характерна для геометрии древних. Одновременно с этим сделалась возможной классификация кривых по виду их уравнений. Сам Декарт также занимался задачею о проведении касательной, и ему принадлежит глубокий, но на практике тягостный метод проведения касательных. Декарт ищет не касательную, а норr мальк данной кривой.
I С этой целью Декарт ищет / среди окружностей, прохо/ дящих чрез данную точку М кривой и имеющих центр на оси ОХ, такую, которая / \ \
пересекает данную кривую [ \ ) х в двух слившихся точках 61 г id у — (рИС> 2). Следовательно по\ / ложение центра т искомой окружности и значит норРис. 2. мали Мт к кривой ищется чисто алгебраическим путем, посредством разыскания кратных корней системы двух уравнений с двумя неизвестными. Ясно, что этот метод по самой сути применим лишь к алгебраическим кривым.
Предшественники Ньютона и Лейбница. Вплотную подошел к созданию Д. и. знаменитый современник Декарта — Ферма (1601—65), к-рый независимо от Декартаупотреблял метод координат, почему его и считают предшественником Декарта по изобретению аналитической геометрии. В 1629 Ферма, пораженный идеями Кеплера по отысканию экстремумов (см.), дал следующее правило, к-рое Лагранж, Лаплас и Фурье считали уже самим открытием Д. и. «Чтобы отыскать максимум или минимум количества /(ж), надо составить уравнение f(x + е) = f(x), где е есть неопределенное число. Затем, освободив это уравнение от дробей и радикалов и сделав приведение подобных членов, нужно разделить упрощенное т. о. уравнение на это неопределенное е. Полагая затем в оставшихся членах е — 0, мы имеем нек-рое уравнение, содержащее букву х, корни которого и суть максимумы и минимумы». Без сомнения легко в этом правиле Ферма узнать правило составления производной (по крайней мере для алгебраических функций) и приравнивания ее нулю. На этом основании указанные геометры были склонны приписать честь открытия Д. и. Ферма. Однако Пуассон справедливо отмечает, что Д. и. «состоит в системе точных правил для отыскания дифференциалов всех функций, и это существеннее, чем то употребление, которое можно сделать из рассмотрения бесконечно-малых изменений, стремясь решить одну или две частных проблемы».
Во всяком случае Ферма из своего метода отыг скания экстремумов сделал способ проведения касательных. Другие цсторики называют изобретателем Д. и. учителя Ньютона — Барроу (Barrow, 1630—77), к-рый был сперва профессором в Лондоне, потом в Кембридже и в 1669 передал свою кафед. ру Ньютону. Метод БарS роу возник из упрощения / метода Ферма путем вве/ дения двух бесконечно-маж; лых вместо одного. На прилагаемом чертеже (рис. 3), — А воспроизводящем чертеж /7 Барроу, мы имеем беско/I нечно-малый треугольник у 1 —, s — ---------АВВ', составленный из Рис. 3> приращения абсциссы ВЛ, приращения ординаты АВ' и кривой стороны ВВ', Этот треугольник подобен треугольнику ТРВ, составленному из ординаты, касательной и субкасательной. Отсюда, если известно отношение АВ' к АВ, то известно и отношение ординаты к субкасательной, и значит касательная строится сразу. Самое вычисление отношения АВ' к АВ Барроу производит, пренебрегая бесконечно-малыми высших порядков, т. е, почти современными методами. Для того чтобы совершилось открытие Д. и., нехватало лишь обозначения и алгорифма. То и другое было дано почти одновременно, независимо друг от друга и с разною целью, Ньютоном и Лейбницем.
Ньютон (1642—1727) был учеником.
Барроу, глубоко чтившего его гений. До открытия Д. и. он изучал кроме античных геометров «G6ometrie» Декарта, «Optik» Кеплера, труды Вьета, «Lectures» Барроу и «Arithmetica infinitorum» Валлиса. В этой последней книге Валлис рассматривает кривые с ординатами (1 — ж2) 0, (1 — ж2), (1 — ж2) 2,... и вычисляет Площади этих кривых для отрезка [0^ж^1]. Получив т. о, числа 1, 2/3, 8/15, 48'юд, ..., Валлис, бывший одним из величайших разгадывателей криптограмм, ставит себе вопрос, как наряду с этими числами должно было бы выглядеть число, выражающее пло-
