производятся умножения. Без нуля будут напр. Г. относительно действия умножения: 1) совокупность всех рациональных чисел, 2) совокупность всех действительных чисел, 3) совокупность всех комплексных чисел, 4) совокупность всех положительных и отрицательных степеней какого-либо числа р, напр. числа 2. Наоборот, совокупность всех умножений на все целые числа не будет Г., т. к. здесь нет обратных действий. Операции сложения также образуют Г. Здесь уже нуль не исключается, наоборот он играет роль тождественного элемента Е.
Основное в изучении каждой Г. — это найти те законы, по к-рым из каждых Л и В, взятых из данной Г., получается результат их последовательного применения, т. е. найти в Г. то С, к-рое равно АВ. При этом нужно отметить, что результат может зависеть от порядка действий, т. е., вообще говоря, АВ не равно ВА. Напр. если А есть операция взятия логарифма, а В — операция возведения в квадрат, то операция АВ, проведенная над произвольным числом х, приведет к [log®]2, а ВА даст log(®2), что не одно и то же. Тем пе менее последовательное сочетание операций Г. часто называют символическим перемножением этих операций (или т. н. элементов группы). Но в отличие от обыкновенного умножения это символическое умножение в общем случае не коммутативно, АВ=£ВА. Есть Г., обладающие свойством коммутативности своего перемножения — они образуют особый класс, т. н. Г. коммутативных или Абелевых (по имени Н. Г. Абеля, см.).
Та ветвь теории Г., к-рая занята только законами, по к-рым из А и В получается АВ=С, не интересуясь ни объектом, над которым производятся операции, ни свойствами самих этих операций, взятых отдельно, — называется абстрактной или общей теорией Г. Ее значение — в том, что часто совершенно различные совокупности операций представляют собою (в силу одинаковых законов сочетания операций) одинаковую картину в абстрактном смысле. Напр. группа всех перемещений трех букв а, в, с состоит из шести элементов (число перемещений Рз=3!=6). Г. всех* способов, к-рыми равносторонний материальный треугольник может занять определенное место, состоит также из шести элементов (считая обе стороны плоскости треугольника), причем законы сочетания в обеих группах одинаковы.
Среди абстрактных Г. основное деление — на конечные (состоящие из конечного числа элементов, напр. вышеприведенные из 6 элементов) и бесконечные — с бесконечным числом элементов.
Конкретные группы чрезвычайно разнообразны. Мы имеем Г. в геометрии: прежде всего те перемещения, к-рые в данном пространстве могут претерпеть данные фигуры.
Ф. Клейн (см.) считал самым главным в любой геометрии свойственную ей Г. (см. Геометрия). В алгебре, теории функций и в той же геометрии мы имеем Г. преобразований. Напр. функция преобразуется таким образом, что вместо переменного х вводится переменное у — ат+в. Многие функции не изменяются (остаются инвариантны 658 ми) при некоторых преобразованиях; напр. функция ®2 не изменяется при преобразовании х =у+а, функция ®1/®2 не изменяется при преобразовании х=ау. Легко понять, что преобразования, пе изменяющие данной функции, составляют Г. Установление этой группы обыкновенно играет важнейшую роль в деле изучения функции. В алгебре по тем же причинам большую роль играют Г. подстановок (см.) корней ур-ия.
Именно эти конкретные Г. подстановок и были первым примером Г. в науке — их ввел, как и самый термин «Группа», Э. Галуа (см.). На теории Г. основаны законы симметрии в кристаллографии.
Бесконечные в этом смысле Г. делятся на два основных класса: непрерывные и прерывные или дискретные. Г. является непрерывной, если наряду с каждой А в ней есть бесконечно-близкие по своим результатам операции. Важнейший вид непрерывных групп — группы линейных преобразований. Это — преобразования одной системы чисел (напр. координат) ®15 х2хп в другую з/i, у2,.,., уп при помощи системы равенств первой степени (т. н. линейных) Ух — + ^12^2 4” • • • 4" У2 = ^21®1 4“ 6^22^2 4” • • • 4“ Уп
O, nlXi
4-
^niX2
4"
• • • 4“
^ппХп.
Здесь а^ — коэффициенты, не зависящие от хиуи постоянные для данной операции (данного преобразования). Этими-то коэффициентами и отличаются операции одна от другой. Ясно, что такие преобразования образуют группы, т. к. результат двух линейных преобразований иксов в игреки и игреков в зеты — равносильно линейному же преобразованию иксов в зеты. Если при этом параметры, в нашем случае коэффициенты aik (или часть из них), могут получать непрерывно меняющиеся значения, то полу. чаются бесконечно-близкие операции; Г. будут непрерывны. В теории непрерывных групп самые термины — конечные и бесконечные Г. — обыкновенно употребляются в несколько ином смысле, чем это указано выше. Именно под конечной Г. разумеют такую Г., которая зависит от конечного числа параметров, а под бесконечной разумеют Г., зависящую от бесконечного числа параметров или от произвольных функций.
Конечные непрерывные Г. играют роль при решении дифференциальных ур-ий (их ввел С. Ли, см.) и в современной общей геометрии. К подобным же Г. приводит новейшая физика в теории относительности (см.) и квантовой механике (см.).
Лит.: Граве Д., Теория конечных групп,
Киев, 1908; Шмидт О. ГО., Абстрактная теория групп, Киев, 1916; Burnside W., Theory of Groups of Finite Order, 2 ed., Cambridge, 1911; S p e iser A., Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, 2 Anil., В, 1927; Miller G A., В 1 icnf e 1 d t H. F., D i cks on L. E., Theory and Applications of Finite Groups, N. Y., 1916; Lie S., Theorie der Transform at ionsgrUppen, Lpz., 1888—93 (unter Mitwirkung von F. E n g e 1); e г о же, Vorlesungen fiber continuirliche Gruppen mit geometrischen und anderen Anwendungen. Bearbeitet und herausgegcben von G. Scheffers, Leipzig, 1893; Bianchi L., Lezioni sulla teoria dci grupni continui finiti di trasformazioni, Pisa, 1993, 1918; Приложения к физике.
W e \ 1 H., Gruppentheorie und Quanteomechanik, Leipzig, 1928.
О. Шмидт.
