длину одной из его высот, мы можем вычислить сперва площадь треугольника, потом искомую высоту. Задача будет решена много скорее, если взамен вычисления сделать построение треугольника и провести в нем эту высоту, т. к. тогда останется только измерить ее (масштабной линейкой). Конечно построение дает результат с ограниченной и вообще довольно невысокой точностью (2—3 значащих цифры), и в этом основной недостаток Г. в. Достоинством же его являются быстрота выполнения, значительная простота и наглядность. Поэтому к нему постоянно прибегают, когда не требуется большой точности. В случаях же, когда более значительная точность результата необходима и по существу дела возможна, графический метод употребляется для получения первого приближения и для приближенной поверки найденных результатов. — Всякую формулу можно истолковать геометрически, а потому всякую вычислительную задачу можно решить графическим способом. Конечно это не всегда выгодно. Например простейшие арифметические действия стоит выполнять графически лишь в тех случаях, когда все данные выражены не числами, а отрезками (см. книги Абрамова и Веркмейстера, 4 и 10 в списке лит.).
Графическая интерполяция. Одним из употребительнейших на практике применений графиков является графическая интерполяция. Положим, что имеется несколько пар соответствующих значений аргумента и функции. Под интерполяцией (в узком смысле этого слова) понимают получение значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, а также получение значений аргумента, соответствующих промежуточным значениям функции, т. е. своего рода «чтение между строками таблицы числовых значений». При этом всегда предполагается, что в рассматриваемом интервале функция имеет «плавный» ход; другими словами, предполагается непрерывность как самой функции, так и по крайней мере первой и второй ее производных. Если можно ограничиться точностью в 2—3 значащих цифры, то в очень многих случаях интерполяцию выгоднее всего выполнить графически: выбрав подходящий масштаб, изображают данные пары значений аргумента и функции точками плоскости (обыкновенно в прямоугольных координатах), а затем соединяют эти точки «плавной» кривой (от руки или посредством гибкой стальной линейки). После этого остается только «снять» с чертежа искомые значения (функции или аргумента). Работа построения и применения графика существенно облегчается при применении координатной бумаги, наиболее распространенным видом которой является клетчатая бумага (например миллиметровая). — Результаты, доставляемые графической интерполяцией (как и всякой интерполяцией вообще), тем более надежны, чем гуще расположены точки, изображающие пары данных значений аргумента и функции, й чем точнее известен ход изменения функции от одной такой точки до другой. Если же наприм. в интервал е между двумя тактами точками функ 846
ция имеет максимум, а мы о нем ничего не знаем, то интерполяция приводит к неверным результатам.
Чтобы дать пример графической интерполяции, рассмотрим следующий способ построения таблицы трехзначных логарифмов (вероятно самый простой из всех существующих). Выполняя несколько извлечений квадратного корня и умножений, легко получить числа, логарифмы к-рых образуют арифметическую прогрессию с разностью в Ve — Действительно lg 1 = 0, lg^ 10 = 1g 3, 162 = 0, 5; lg|/10 = «lgF, M62=lg-l, 778 = 0, 25; 1g ^io=lg/lJ78=lg 1, 333= = 0, 125; lg(V10 •t'lo) = 1g (1, 778 X 1, 333) = lg2, 371 =0, 375 и т. д. до 1g 10 = 1. Откладывая значения девяти полученных чисел по оси абсцисс, а их логарифмов по оси ординат, и взяв за единицу для чисел 10 ж, для логарифмов 100 мм, получим 9 точек графика логарифмической функции, к-рые и соединяем плавной кривой (рис. 1). Теперь находим по чертежу длины ординат всех точек кривой, абсциссы к-рых выражаются числами от 1, 9 до 9, 9 (через 0, 1), и таблица трехзначных логарифмов всех двухзначных чисел готова. При аккуратном выполнении чертежа погрешу ность полученных логарифмов не будет превышать 1—2 единиц последнего (третьего) знака. Приводим логарифмы чисел первого десятка, действительно полученные описанным способом: X3561g х (по графику) . . . 0, 300 0, 478 0, 600 0, 700 0, 776 0, 845 0, 902 0, 955 1g х (по таблице) . . . 0, 301 0, 477 о, ео2 0, 699 0, 778 0, 845 0, 903 0, 954
Проще всего графическая интерполяция выполняется в том случае, когда графиком является прямая линия («линейная» интерполяция), так как тогда достаточно нанести на чертеж две (по возможности более удаленных друг от друга) точки и провести через них прямую. Поэтому во многих более сложных случаях, когда данные значения искомой функции при выполнении графика обычным порядком располагаются по кривой линии, задачу стремятся свести к случаю прямолинейного графика надлежащим преобразованием масштаба по одной из осей или по обоим осям. Этот процесс носит название анаморфозы. Поясним его на примере. Наблюдается медленный разряд лейденской банки, замкнутой плохим проводником, и получаются следующие значения потенциала V (в вольтах) для разных моментов времени t (в секундах): t . . .
V . .
О 30 60 90 1.640 1.350 1.120 930
120 780
150 660
180 550
Если изобразить эти пары значений t и V графически в прямоугольных координатах, пользуясь обычным (равномерным) масштабом, то точки эти расположатся по нек-рой кривой. Если же, откладывая t по горизонтальной оси обычным порядком (считая например 30 секунд в 1 см), по вертикальной оси откладывать не значения V, а значения IgV (считая напр. в 1 мм 0, 01), то точки графика расположатся приблизительно на одной прямой линии (рис. 2). Действительно теперь имеем: о 30 60 90 120 150 180 IgV . 3, 2148 3, 1303 3, 0492 3, 9685 2, 8921 2, 8195. 2, 7404
t . . .
и график принимает вид прямой, что значительно облегчает интерполирование. Отсюда заключаем, что lg V зависит от t линейно,.
