ГЕОМЕТРИЯ 378 377 формация выполнялась непрерывным про
бинаторного анализа (см.). За последние цессом. При такой деформации могут чрез
годы топология чрезвычайно разрослась и по вычайно измениться области I и II и раз
охваченному ею материалу и по методам исделяющий их контур. Мы можем, напри
следования. Рус. математики — безвременно мер, такой деформацией превратить шар в погибший П. Урисон и П. С. Александров — эллипсоид, делящую окружность в эллипс, создали свою школу топологов и топологино принадлежность точки к части I или II ческого исследования.
Обоснование Г. Обратимся теперь остается инвариантной в том смысле, что точка, принадлежавшая области I на сфере, к тем логическим и философским выводам, будет принадлежать деформированной обла
к которым в 20 столетии привела эволюция сти I на эллипсоиде. Совокупность таких Г., столь широко развернувшаяся в 19 веке.
Неевклидова Г. возникла, как мы видели, свойств чрезвычайно велика, и в истории Г. издавна возник ряд задач именно такого в результате неутомимых попыток доказать свойства. Сюда относится, например, т. н. постулат о параллельных линиях, к-рый бузадача о четырех красках, заключающая
дем обозначать через Е. — Задача заключася в том, чтобы поверхность, разделенную лась в необходимости вывести его как логическое следствие из совокупности 2 всех контурами на отдельные области (например, карту, охватывающую ряд стран), раскра
остальных постулатов Евклида. Лобачевсить четырьмя красками так, чтобы две смеж
ский заменил постулат Е противоположным ные области всегда оказывались окрашен
положением Л. Система Евклида, так. обр., ными в различные цвета. На практике, в покоится на положениях (2 Е), система Лобачастных случаях, это всегда возможно, но чевского на положениях (2 Л). Если бы сообщего решения этой задачи, доказательства единение системы посылок 2 с допущением того, что такая раскраска всегда возможна, Л привело к абсурду, то этим было бы доне было. Ясно, что форма областей и отделя
казано, что Е есть неизбежное следствие сиющих их контуров не имеет здесь значения; стемы 2. Напротив, коль скоро установлено, если требование это осуществимо, то оно бу
что система (2 Л) противоречий в себе не дет выполняться и при непрерывной дефор
заключает, т. е. что совокупность положений мации областей и их контуров. Такого рода 2 совместима как с добавочным положением свойства геометрических образов, к-рые со
Е, так и с противоположным ему положенихраняются при всякой непрерывной их де
ем Л, то отсюда следует или, вернее, это формации, носят название топологи
означает, что ни одно из двух противоположческих. С особою остротою топологиче
ных положений Е и Л не представляет соские вопросы стали после того, как получили бою следствия из системы 2; каждое из них развитие идеи Римана, относящиеся к дру
представляет собою положение, от системы гой области, к тому построению теории функ
2 логически не зависящее; следовательно, ций, к-рое в последнее время называют гео
основываясь на остальных постулатах Евметрическим. Если z=f(x) есть однозначная клида 2, нельзя доказать ни положения Е, функция комплексной переменной х, то ка
ни положения Л. Вопрос о доказательстве ждой точке так наз. комплексной плоскости постулата о параллельных линиях был окон(т. е. плоскости, в к-рой отображены значе чательно решен в том смысле, что такого дония независимой переменной х) отвечает казательства дать нельзя, ибо оно неизбежно одно и только одно значение функции. Для разрушило бы гиперболическую Г. (2 Л), теории функций очень важно униформиро — столь же справедливую, как и система Еввать это соответствие, т. е. распределить клида (2 Е). Доказательства невозможности значения независимой переменной на поверх
выполнения определенного задания, к-рые ности так, чтобы каждой точке поверхности 19 в. принес с собою по отношению к неодоотвечало только одно значение функции. лимым конструктивным и логическим задаРиман дал для этого своеобразное построе
ниям, составили одно из величайших доние поверхностей, несущих значения неза
стижений этого века. Оно освободило человисимых переменных, но для теории функ
веческую мысль от неодолимых проблем и ций имеет значение только топологическое указало такую постановку каждого вопроса, строение этих римановых поверхностей (см.); при которой он должен получить решение. для построения же этих по существу чрезвы
Этот метод дал также чрезвычайно плодочайно многообразных поверхностей было не
творные результаты в алгебре и анализе. обходимо углубленное изучение их тополоВместе с тем и задача о логическом обогических свойств. Для этого цикла вопросов сновании Г. получила совершенно отчетлипространство остается многообразием, но вую формулировку. Дать логическое обосноболее гибким, более свободно деформирую
вание той или иной геометрической систещимся. В общей теории многообразий или, мы значит установить совокупность непрокак чаще говорят в последнее время, в тео
тиворечивых и независимых положений, из рии множеств (см. Множеств теория), по
которых эта система развертывается в построенной впервые Георгом Кантором, были рядке строгих логических выводов. Нужно найдены пути и средства для углубленных установить непротиворечивость этой систегеометрия, исследований в этом направле
мы, т. к. без этого нет уверенности в том, нии. Разрозненные результаты, полученные в что в развитии основанной на этих посылках этой области еще Риманом, Бетти, Пуанка
Г. мы не придем к выводу, противоречащему ре, были развиты голландским математиком предложениям, ранее установленным. ИстоБрауером, к-рый свел их в цельную дисцип
рия гиперболической Г. после Лобачевского лину, получившую название топологии (см.). есть, гл. обр., история попыток доказательДен, Тице, Веблен и др. развертывали ее ства ее непротиворечивости. Для такого дов другом направлении средствами т. н. ком
казательства существует только один путь:
