приближается к Р, то [MN] неограниченно возрастает. Т. о., абсолют представляет собою геометрическое место бесконечно удаленных точек плоскости. Когда отрезок MN растет в пределах абсолюта, его длина может возрастать неограниченно.
Если мы теперь станем развивать Г. из установленных выше положений, то легко убедимся, что она сохраняет основные свойства, выражаемые первыми постулатами Евклида. В этой двумерной Г. движения представляют собою транзитивную группу с 3 степенями свободы. Это значит, что каждую точку можно привести в совмещение с любой другой точкой и вращением вокруг любой точки можно каждое направление совместить с любым другим направлением. Через каждые две точки можно провести одну и только одну прямую; каждую ограниченную прямую можно продолжить в обе стороны на сколь угодно большое расстояние.
Но, если мы возьмем теперь точку К (рис. 15) вне прямой, то через нее будет проходить целый пучок прямых, не встречающих прямой MN: это будут все прямые, расположенные внутри углов Q
РКQ' и QKP'. Внутри углов PKQ и P'KQ' \ проходят прямые, пеj ресекающие MN, Мы J находимся, т. обр., в условиях гиперболир ческой Г. КР и KQ это те прямые, которые Рис. 15.
Лобачевский называет параллельными прямой MN: они сходятся с ней в бесконечности. Вся гиперболическая планиметрия осуществляется в этой схеме целиком; в евклидовой плоскости построена интерпретация гиперболической Г., в которой справедливо каждое ее предложение без исключения. Более того, если обратиться к трехмерному пространству и принять за абсолют эллипсоид, а за движения — группу Кели, оставляющую этот эллипсоид инвариантным, то в совершенно том же порядке идей можно построить интерпретацию, полностью осуществляющую трехмерную интерпретацию Г. Лобачевского.
Т. о., Клейн дал интерпретацию гиперболической Г., осуществляющую ее полностью как в двумерной, так и в трехмерной области. Каждое возможное противоречие в гиперболической Г. привело бы к противоречию в соответствующей системе образов евклидовой Г. Т. о., гиперболическая Г. приобретает не меньшую логическую достоверность, чем Г. Евклида. Отчетливость и доступность идей Клейна привели к их широкому распространению; в 70 — х и 80 — х гг. они находились в центре внимания геометров.
Конкретные приложения к анализу не заставили себя ждать.
Приложения неевклидовой Г. к теории функций. В области анализа в ту пору интересы математиков были сосредоточены на широко развертывавшейся теории функций (см.). То было время, когда Вейерштрас, Эрмит и Пуанкаре построили глубокие общие основания этой обширной дисциплины. Сюда и проникли методы гиперболической Г. Если изображать геоме 372
трически какую-либо периодическую функцию вещественной переменной у — f(x) (напр., у=cos х) и значения независимой переменной, по обыкновению, наносить на оси абсцисс, то последняя разобьется на равные отрезки, на которых последовательно повторяются значения функций; это есть геометрическое выражение их периодичности. Задача изучения функций такого рода сводится к установлению их значений в пределах одного основного отрезка (периода); определение значения функций в любой другой точке на оси абсцисс сводится к разысканию той точки основного отрезка, в к-рой функция имеет то же значение. — Теория эллиптических функций привела к понятию о функции комплексной переменной с двойным периодом.
По отношению к этим функциям плоскость комплексной переменной разбивается на конгруентные параллелограммы, и исследование функции сводится к установлению ее значений в пределах одного параллелограмма; в каждом другом параллелограмме повторяются те же значения. Это разбиение плоскости на параллелограммы, в к-рых повторяются значения функций, составляет основной момент в геометрической теории двояко периодических функций. — Эти идеи Пуанкаре старался распространить на более широкий класс т. н. автоморфных функций комплексной переменной; так называются функции, не изменяющие своих значений при замене х через cx^d, т. е. при надлежащих дробно линейных преобразованиях независимой переменной. Т. к. и здесь значения функции, т. о., повторяются, то Эрмит уже искал такого разбиения комплексной плоскости, которое давало бы всю совокупность значений функции в одной основной области и воспроизводило бы их в любой другой области. Такое разложение Пуанкаре разыскал для широкого класса автоморфных функций (т. н. фуксовых функций). Пуанкаре создал для этой цели свою чрезвычайно замечательную интерпретацию гиперболической Г. и обнаружил, что при этой интерпретации плоскость разбивается на треугольники, конгруентные с точки зрения гиперболической Г. и воспроизводящие все значения функции. Эти идеи дали значительное развитие т. н. геометрической теории функций, ведущей свое начало от Лиувиля и Римана. — Естественно было ждать и приложений новой Г. к точному естествознанию.
Клиффорд построил с этой целью механику гиперболического пространства (1870);Цельнер, Тилли, Бельтрами, Болл развивали это построение. Но эти работы до наст, времени прямых результатов не дали. Пути к плодотворному применению этих идей наметились только в последнее время на почве более широкого взгляда на неевклидову Г., к-рый ведет свое начало от небольшой, но чрезвычайно глубокой работы Римана, опубликованной Дедекиндом в том же 1868, в к-ром появилось «Saggio» Бельтрами.
Г. Римана. Мемуар Римана, представлявший собой лекцию, составленную Риманом для Гаусса и изложенную чрезвычайно сжато, без всяких вычислений (часть этих вычислений дал в виде приложения Дедекинд),
