трех углов треугольника меньше 180° (это допущение противно постулату Евклида. В. К.), приводит к своеобразной, совершенно отличной от нашей (евклидовой), Г.
Эта Г. совершенно последовательна, и я развил ее для себя совершенно удовлетворительно; я имею возможность решить в этой Г. любую задачу, за исключением определения нек-рой постоянной, значение к-рой, a priori, установлено быть не может. Чем большее значение мы придадим этой постоянной, тем ближе подойдем мы к Г. Евклида, а бесконечно большое ее значение приводит обе системы к совпадению. Положения этой Г. отчасти кажутся парадоксальными и непривычному человеку даже несуразными. Но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного. Так, напр., все три угла треугольника можно сделать сколько угодно малыми, если только взять достаточно большие стороны; площадь же треугольника не может превысить и даже не может достичь некоторого предела, как бы велики ни были его стороны. Все мои старания найти в этой „неевклидовой" Г. противоречие или непоследовательность остались бесплодными, и единственно, что в этой системе противоречит нашему разуму, это то, что в пространстве, если бы эта система была справедлива, должна была бы существовать некоторая сама по себе определенная, хотя нам и неизвестная, величина. Но мне кажется, что мы, кроме ничего не выражающей словесной мудрости метафизики, знаем очень мало или даже не знаем ничего о сущности пространства. Мы не можем смешивать того, что нам представляется неестественным, с абсолютно невозможным». В этом, для неосведомленных лиц несколько туманном, очерке фактически изложена вся сущность того, что в ту пору получило название неевклидовой Г.
Гаусс не решился опубликовать эти идеи из опасения, что они будут встречены недоброжелательно людьми, совершенно сросшимися с Г. Евклида. Он не согласился даже высказаться публично о присланных ему работах Вахтера и Тауринуса, в большей или меньшей мере приближавшихся к его идеям, хотя он их чрезвычайно высоко ценил; для обоих это имело роковое значение. Гаусс не дал также отзыва в печати и о присланных ему печатных сочинениях Больяй и Лобачевского, содержавших уже обстоятельное изложение неевклидовой Г.; это имело для Больяй столь же роковое значение, как и для Тауринуса; оба не вынесли этого удара и лишились рассудка. Лобачевский первый опубликовал (1829) систематическое изложение «Воображаемой геометрии», как он ее называл, не отступив перед пренебрежительным отношением к ней современных ему математиков, доходившим до прямого издевательства, и всю жизнь продолжал ее разрабатывать.
Сущность этого замечательного открытия, как уже охарактеризовано выше в письме Гаусса, заключается в том, что допущение, противное постулату Евклида, не приводит к логическому противоречию с предшествующими положениями евклидовой Г., а напротив приводит к своеобразной, но строй 360
ной системе, последовательной во всех своих частях. Допущение, из к-рого Лобачевский в соответствии с этим исходит, состоит в том, что в плоскости из точки О вне прямой можно провести не одну, а несколько прямых линий, не встречающих данной прямой.
Если прямые ОС и OD (рис. 8), проходящие через точку О в плоскости О АВ, не встречают прямой АВ, то ее не встречают и прямые OL, проходящие между этими двумя прямыми в вертикальных углах D' О С и C'OD. Вследствие этого весь пучок пряА в мых, проходящих в нашей плоскости через Рис. 8. точку О, разбивается на два «подпучка». Прямые, лежащие вне указанных углов, «сходятся» с АВ, т. е. пересекают ее в нек-рой «точке схождения»; прямые типа OL «расходятся» с АВ, а две прямые ОС и OD отделяют один подпучок от другого. Эти первые, не встречающие АВ (с одной и другой стороны) прямые Лобачевский и называет параллельными прямой АВ в новом, свойственном неевклидовой Г., значении этого слова. Более углубленный анализ обнаруживает, что в этих условиях, прямые, параллельные АВ, асимптотически к ней приближаются с обеих сторон, а каждая прямая, расходящаяся с АВ в некотором месте, имеет с нею общий перпендикуляр, от к-рого обе прямые «расходятся», неограниченно друг от друга удаляясь, точно две ветви гиперболы. Возможны, таким обр., три типа расположения двух прямых на плоскости, к-рые изображены на рис. 9.
Рис. 9.
Точно так же и две плоскости в Г. Лобачевского-Больяй либо пересекаются по прямой линии, либо асимптотически друг к другу приближаются, либо имеют общий перпендикуляр, от к-рого симметрично и неограниченно расходятся во все стороны. — Эти первые и основные предложения неевклидовой Г. были уже хорошо известны Саккери и Ламберту, позднее Вахтеру и Тауринусу.
Существенным шагом вперед явилось открытие т. н. предельной линии и предельной поверхности. Если в евклидовой плоскости проводить окружности, имеющие центры на оси абсцисс и проходящие через начало координат О, и на каждой окружности взять точку, отстоящую от точки О на одно и то же расстояние ОМ' = I, то с увеличением радиуса, каково бы ни было расстояние I, точка М' будет неограниченно приближаться к точке М на оси ординат, отстоящей от О на расстояние ОМ=1. В этом смысле говорят, что в евклидовой плоскости окружность с увеличением радиуса неограниченно приближается к прямой линии; часто это выражают так, что в евклидовой плоскости прямую можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса. В Г. Лобачевского дело обстоит иначе: при том же
