2 — го порядка, ведет к кривым 3, 4, 5, 6 — го порядка как плоским, так и пространственным. По различным основаниям устанавливается их классификация, строятся их эпюры (в случае пространственных кривых), исследуется их форма. Относящиеся сюда результаты чрезвычайно многообразны и дифференцированы. Второй путь ведет свое начало, гл. обр., от Плюкера и характеризуется тем, что ставит себе задачей не исследование отдельных алгебраических кривых и поверхностей, а разыскание общих средств для геометрической интерпретации алгебраических уравнений. «Я склонен приобщиться к тому взгляду, — говорит Плюкер, — что анализ представляет собою науку, самостоятельно стоящую независимо от каких бы то ни было приложений, а Г. как другая сторона механики является только наглядной интерпретацией известных соотношений этого огромного величественного целого». Эта точка зрения представляет собой полное противоположение воззрениям на Г. Штейнера. Тем не менее, Плюкер, более чем кто-либо другой, в своих работах объединил методы аналитической и проективной Г. Основной замысел Плюкера заключается в следующем. Когда мы следим за ходом кривой, то мы выделяем ее часть в особую ветку либо в том случае, когда она уходит в бесконечность, либо тогда, когда она пересекается с собою самой, т. е. образует двойную, кратную, вообще особую точку (см.). В своих особых точках кривая разветвляется, и потому число, расположение и характер этих точек в значительной мере определяют самый ход кривой. Сообразно этому Плюкер сосредоточил внимание на особых точках алгебраической кривой. Он установил чрезвычайно замечательную зависимость между порядком, классом кривой и числом особых точек различного типа. Именно идеи и методы проективной Г. привели Плюкера к введению однородных координат, т. е. к приведению уравнения алгебраической кривой к однородному виду. Это делает уравнение симметричным и открывает возможности очень существенных упрощений.
Доминирующую роль в алгебраической Г. играют инварианты (см.) тех форм, через к-рые выражаются уравнения кривых. Т. о., от общей теории алгебраических кривых ведет свое начало теория инвариантов, получившая такие разнообразные применения в современной математике. Продолжателями Плюкера на этом пути были Клебш, Сильвестр, Сальмон; в трактате Садьмона «Higher Plane Curves» (1852), в последнее время глубоко переработанном и дополненном Фидлером, это направление получило свое современное завершение. Третий путь представляет собою наиболее тесное объединение Г. с алгеброй и теорией функций. Если алгебраическая кривая выражается уравнением в рациональном виде, то у представляет собой то, что мы называем алгебраической функцией от х. Отсюда ясно, что общая теория алгебраических кривых и теория алгебраических функций представляет собою одно целое: первая представляет собою интерпретацию второй, с точки зрения Плюкера, вторая представляет собою алге 352
браическое выражение первой, с точки зрения Штейнера. В дальнейшем этот плодотворный путь ведет от Якоби, через Римана и Гессе, к современ. теории функций (см.); он дал те приложения Г. к теории функций, которые Курант объединил под общим названием геометрцческой теории функций.
Во всех областях математики влияние Г.
19 в. очень сильно. В работах Минковского оно проникло даже в такую область, как теория чисел, являвшуюся цитаделью арифметических и алгебраических методов. Некоторые математики, в особенности Шаль, утверждали, что алгебраизация Г. 18 в. сменилась в 19 в. геометризацией алгебры, но геометризацией несравненно более совершенной, нежели это имело место в эллинскую эпоху. Вряд ли, однако, это так. Справедливее сказать, что доминирующая роль, к-рую аналитическая Г. играла в период от Декарта до Монжа, уступила место тесному и глубокому объединению аналитических и геометрических методов.
О том, в какой мере это справедливо, свидетельствует разрешение многовековых задач, к-рое принесла с собою аналитическая Г. в 19 в. Речь идет о задачах, требующих построения тех или иных фигур по определенным заданиям. Циркуль и линейка, эти простейшие из точных инструментов, представляли собой те средства, при помощи которых должно было быть выполнено построение. В этой области, как уже указано выше, еще в пору ранней греч. Г. возник ряд задач, в известном смысле составлявших камни преткновения человеческой мысли. Сюда, в первую очередь, относятся задачи об удвоении куба (Делийская задача), о трисекции угла и о квадратуре круга. В то время как одни геометры утратили веру в возможность решения Ьтих задач циркулем и линейкой и применяли для этого более сложные кривые, другие продолжали искать прямого решения этих задач в их первоначальной постановке, т. е. решения их с помощью циркуля и линейки. Литература средних и новых веков изобилует сочинениями, посвященными этим, казалось бы, безнадежным задачам. Если многие из этих сочинений не имеют никакой цены, то другие принесли с собою очень ценные результаты, на первый взгляд даже мало связанные с самыми задачами. Первые бесконечные произведения и бесконечные непрерывные дроби были открыты Виетом и Валлисом на почве изыскания такого выражения числа л, к-рое было бы доступно построению. При всем том и эти более серьезные исследователи должны были притти к мысли, что решение этих задач циркулем и линейкой неосуществимо. Строгая постановка вопроса была тем достижением, к-рое эти изыскания с собою принесли. Она заключается в том, что решить математическую задачу — значит либо выполнить содержащееся в ней требование либо обнаружить, что выполнение его невозможно. Алгебраическая Г. дала ключ к такому решению конструктивных задач. Если конструктивная задача решается циркулем и линейкой, то, отнеся всю конфигурацию этого построения к ортогональным декартовым координатам и написав уравнение прямых и
