ческое сечение может быть, т. о., рассматриваемо как перспективное изображение другого. Пользуясь этим, Паскаль доказал свою знаменитую теорему о том,, что точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в коническое сечение, расположены на одной прямой. Брианшон (род. в 1785) использовал теорему Паскаля для построения конического сечения по пяти точкам или по пяти касательным. Так постепенно шло накопление своеобразных фактов, к к-рым, поРис. 4. мимо прямых задач изобразительной Г., приводили методы перспективы. Это были сопутствующие ей теоретические результаты, о которых говорил позже Монж, но к-рые развертывались не путем изучения эпюра, а непосредственными методами центрального проектирования.
Эти теоретические результаты были в 19 в. объединены в стройную синтетическую си> стему, получившую название проективной геометрии (см.), которая связана с именами Понселе (1788—1867), Штейнера (1796—1863) и Штаута (1798—1867).
Проективная геометрия. После Французской революции пришла эпоха Наполеона. Французский военный инженер Понселе во время похода в Россию очутился в плену в Саратове. Вдали от Франции и от задач ее индустриализации он сосредоточил свои интересы на теоретических результатах, к к-рым приводит центральное проектирование. Ученик Монжа по Политехнической школе, Понселе исходит из метода центрального проектирования и ставит себе общую задачу — разыскать все те свойства геометрических образов, которые «остаются инвариантными», т. е. не изменяются при центральном проектировании. Эти свойства он находит в эллинской Г., у Дезарга, Паскаля, Брианшона, в теории конических сечений, у многих геометров, вплоть до Карно, к-рые, как уже сказано, порой независимо друг от друга, порой в известной связи, накопляли этот материал. Все такие свойства Понселе называет проективными; собрав в одно целое все проективные свойства, открытые как его предшественниками, так и им самим, Понселе дал первую схему проективной Г. Три идеи выдвигаются этим построением на первый план: идея геометрического преобразования (см.), в частности коллинеации (см.), идея корреляции (см.) и идея инвариантов (см.) преобразования. Отображая центральн. проектированием плоскость Р на плоскости Р', мы каждой точке А плоскости Р относим в качестве ее изображения точку А' на плоскости Р'. Это как бы преобразует точку за точкой плоскость Р в плоскость Р'. Теперь мы можем каждую точку А' проектировать из другого центра на плоскость Р"; ее изображением будет точка А"; следующая проекция преобразует плоскость Р" в плоскость Р'", относя каждой точке А точку А "' на пло 348
скости Р'". Этот процесс можно продолжать неограниченно и в любой момент перебросить изображение вновь на исходную плоскость Р, проектируя, скажем, плоскость Р'" на Р. Изображение первоначальной фигуры на плоскости Р в конечном счете переносится на ту же плоскость Р, так что каждой ее точке А отвечает другая точка Аг той же плоскости в качестве ее изображения; это и есть геометрическое преобразование точек плоскости Р. Если теперь из точки О, не лежащей на плоскости Р, проведем связку (О) лучей, идущих каждый к нек-рой точке Л, а из другой точки О' проведем связку лучей (О'), идущих к тем же точкам А или к точкам А19 и каждому лучу О А связки (О) отнесем луч О 'А или О'Аг связки (О'), то мы отобразим связку (О) на связке (О ') или преобразуем связку (О) в связку (О'); точка О может совпадать с О', и тогда мы преобразуем связку (О) в себя самое, относя каждому лучу О А нек-рый луч той же связки ОА±. Но теперь каждой точке А плоскости Р отвечает также луч ОА± связки (О); устанавливаемая таким образом зависимость между точкой и прямой представляет собою корреляцию. Если мы выделим четыре точки А на одной прямой, то их ангармоническое отношение есть в то же время ангармоническое отношение соответствующих четырех лучей; это есть инвариант корреляции. Все эти идеи, несколько иначе формулированные, принадлежат Понселе. В его «Трактате о проективных свойствах фигур» («Traits des propri6t£s projectives des figures»), который был написан в 1813, а опубликован в 1822, как уже сказано, собраны инварианты проективных преобразований и корреляций; собраны, но не объединены, не систематизированы. Такое объединение осуществил Штейнер. Этот гениальный швейцарский крестьянин, до 20 лет работавший на земле, пробивший себе в качестве последователя Песталоцци дорогу через крестьянскую школу в среднюю и высшую, до Академии наук, является самым выдающимся представителем новой синтетической Г. 19 в., наиболее ярким борцом за чистоту геометрического метода. Элементарными средствами Г. он справляется с труднейшими задачами анализа, в частности, с задачами изопериметрического типа (см. Изопериметрическая задача). Штейнер показал, что все инварианты проективных преобразований Понселе, как числовые, так и геометрические, проистекают из инвариантности ангармонического отношения. Исходя из этого, он определил проективные соответствия как те преобразования и корреляции, к-рые оставляют инвариантным ангармоническое отношение четырех элементов. Из этого уже вытекает, что проективные преобразования представляют собою коллинеации, т. е. превращают каждую прямую в прямую же.
На этом фундаменте он строит всю проективную Г., конструируя проективные образы различных ступеней и всевозможные формы их проективной зависимости. Самое заглавие сочинения Штейнера, в к-ром его система изложена, отчетливо говорит о его задаче: «Систематическое развитие зависимостей геометрических образов друг от друга с уче-
