ГЕОМЕТРИЯ2 в. до хр. э.; занимались этим позднее Герои и Папп, а также Теон и другие, но их комментарии до нас либо вовсе не дошли либо сохранились только в отрывках в передаче Прокла, к-рый писал уже в 5 в. хр. э. Комментарии Прокла сделались вскоре классическим произведением, с к-рым долго никто не конкурировал в деле истолкования «Начал». К тому же Прокл жил уже в эпоху полного упадка греч. науки, и на его долю выпало лишь подвести общий йтог деятельности его великих предшественников. Значение комментаторов Евклида заключается, гл. обр., в том, что они выяснили слабые места его логической схемы. Не сделав еще ничего для существенного улучшения этой схемы, они указали те пути, по которым проникают в систему Евклида рассуждения, нарушающие выдержанную нить логических выводов. Немало было высказано насмешливых замечаний по поводу комментаторов Евклида: говорили, что они переливали из пустого в порожнее, делали ясное неясным.
В этих упреках, конечно, много правды.
Комментирование элементарного сочинения не требует больших знаний, и потому было написано много легкомысленных и бессодержательных сочинений по поводу «Начал» Евклида и по вопросу об основаниях Г. вообще. Но никак нельзя отрицать того, что комментаторы Евклида, тщательно изучавшие «Начала» и глубоко их продумавшие, указали множество темных пунктов этого сочинения и отметили целый ряд свойств пространственных образов, которые должны лечь в основу логической системы Г.
Ни одно из основных положений Евклида не вызывало столько споров, возражений и исканий, как V его постулат, относящийся к теории параллельных линий. В простейшей своей формулировке этот постулат гласит: в плоскости через точку Р, лежащую вне данной прямой АВ, можно провести не больше одной прямой, не встречающей данной прямой АВ, У Евклида постулат имеет более сложное выражение; но ив этой упрощенной форме он несравненно сложнее остальных постулатов Евклида. Первые 28 предложений «Начал» от этого постулата вовсе не зависят. Он появляется в 29-м предложении как-то неожиданно, и отсюда возникло стремление «доказать» постулат, т. е. логически вывести его из остальных положений Евклида. Доказательством V постулата занимались все комментаторы Евклида.
Гемину приписывается первое из этих доказательств; Прокл останавливается на теории параллельных линий очень обстоятельно; он уже рассматривает доказательства, данные до него, обнаруживает их несостоятельность и сам дает новое доказательство, столь же несостоятельное. Т. о., анализ постулата о параллельных линиях, приведший через два тысячелетия к открытиям, глубоко изменившим все взгляды на сущность Г., также имеет свои глубокие корни уже в греческой геометрии.
III. Геометрия новых веков.
Г. у арабов. Прокл был уже, невидимому, последним представителем греч. Г.
Римляне не внесли в Г. ничего существен 338
ного. Гибель античной культуры, как известно, привела к глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1.000 лет, до эпохи Возрождения (см.). Это не значит, однако, что математика в этот период совершенно заглохла. Посредниками между эллинской и новой европейской наукой явились арабы. Когда несколько улегся ярый религиозный фанатизм, царивший в эпоху арабских завоеваний, в условиях быстро развивавшейся торговли, мореплавания и городского строительства стала развертываться и арабская наука (см.), в которой математика играла очень важную роль.
Евклид был впервые переведен на арабский язык, повидимому, в начале 10 века. К этому переводу были присоединены комментарии Анариция, который играл в арабский период ту же роль, что Прокл в конце греческой эпохи. За этим последовал перевод сочинений других греч. геометров, многие из которых только в этих переводах до нас и дошли. Однако, математические интересы арабов были сосредоточены не столько на Г., сколько на арифметике и алгебре (см.), на искусстве счета в широком смысле этого слова. Арабы усовершенствовали систему счисления и основы алгебры, заимствованные от индусов; но в области Г. они не имели значительных достижений.
Г. эпохи Возрождения. Этот интерес к счету перешел и к европейским математикам Раннего Возрождения.
Медленно — с начала 13 века (Леонард Пизанский) и до конца 15 века (Лука Пачиоли) — в борьбе абацистов с алгорифмиками устанавливается современная система счисления, а в следующем 16 в. начинает выкристаллизовываться и современная алгебра. Система символических обозначений современной алгебры ведет свое начало от Виеты, к-рому принадлежат и первые приложения алгебры к Г. Записав квадратные уравнения в общей форме и рассматривая неизвестную как отрезок, а коэффициенты уравнения как данные отрезки или отношения данных отрезков, Виета дает общие методы построения неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки. Он показывает далее, что решение таких же задач 3-й и 4-й степени всегда может быть приведено к построению двух средних пропорциональных. Во всем этом как будто нет ничего нового; по существу, все это было известно Евклиду, Герону, Проклу. Но новая, более общая схема дает возможность объединить цикл разрозненных задач, интересовавших греч. геометров, установить общую их характеристику, рационально классифицировать их по характеру уравнения, к к-рому приводит алгебраический метод решения задачи. Все эти приемы в дальнейшем своем развитии составили небольшую дисциплину, известную в наст, время под названием «Приложения алгебры к геометрии». Характерным для нее является сведение решения геометрической задачи к определенному алгебраическому уравнению или к определенной системе алгебраических уравнений.
В этих применениях нет какого-либо специального, для геометрии придуманного замысла. Это — прием, проходящий через при-
