ГЕОМЕТРИЯствии с этим, главный вклад, внесенный в Г. в этот астрономический период, есть создание тригонометрии прямолинейной и сферической. Построение тригонометрии приписывается Гиппарху, который составил также таблицы синусов, до нас не дошедшие. Синус дуги фигурирует в тригонометрии этого времени как полухорда двойной дуги. Менелай выделил учение о сфере, ее геометрию и тригонометрию в особую дисциплину — сферику (см.), которой и посвятил особое сочинение в трех книгах, носящее то же название. Первая книга представляет как бы основные предложения Евклида, перенесенные на сферу, третья посвящена тригонометрии. Первое предложение этой книги, на котором основано все сочинение, заключается в следующем. Если стороны сферич. треугольника АВС пересечены дугой большого круга в точках: АВ в D, АС в Е и ВС в F, то sin СЕ sin CF _ sin BD sin EA ~ sin FB ~ sin DA
Это замечательное предложение остается также в силе для прямолинейного треугольника, если заменить синусы дуг соответствующими отрезками (т. е. в предыдущей формуле всюду отбросить знаки синуса); оно известно под названием теоремы Менелая.
Из него вытекает, что на сфере и на плоскости ангармоническое отношение (см.) четырех точек остается инвариантным при проектировании их. Греч. Г. принадлежит, т. о., также и основное предложение проективной Г. Не случайно и то, что оно открыто на сфере раньше, чем на плоскости, ибо, как будет показано ниже, именно в сферическом (римановом) пространстве проективная Г. осуществляется целиком и безупречно. — Птолемей извлек из сферики Менелая то, что необходимо для астронома и снабдил тригонометрию таблицей синусов, вычисленной через г/2°. Эта таблица долго играла весьма большую роль. Птолемей положил также начало картографии; он предложил стереографическую проекцию (см.) для изображения сев. звездного неба; за центр проектирования он естественно выбрал Южный полюс мира, а за плоскость проекций экватор. Нет, т. о., такой отрасли современной Г., основные начала к-рой не были бы заложены эллинскими геометрами.
«Евклид, Архимед, Эратосфен и Аполлоний, — говорит М. Кантор, — довели математику до такой высоты, дальше к-рой старыми средствами ее невозможно было развивать. И не только выше нельзя было взобраться, но и достигнутые вершины науки были вскоре исследованы во всех направлениях. Оставалось вернуться обратно, осмотреться, разобраться в тех частностях материала, мимо к-рых проскользнули творцы науки, быстро взбираясь на ее крутизны»'.
Источники тех трудностей, к-рые стояли на пути дальнейшего развития Г., несомненно коренились в самом геометрическом методе; из него росли препятствия, к-рых он не был в состоянии преодолеть. Его особенность заключается в том, что каждая проблема разрешается средствами, нарочито к ней приспособленными. В этом сила геометрического метода, но в этом же и его слабость,ибо он требует изготовления специального орудия для каждого случая. Так, для решения задачи о построении круга, касающегося трех данных кругов, Аполлоний построил специальную теорию подобия окружностей (расположение центров и осей подобия). Это было, конечно, ценное приобретение; но чем глубже становилась Г., тем труднее было эти специальные средства создавать. Геометрический метод уперся, т. о., в тупик: преодоление содержавшихся в нем противоречий могло быть найдено только на противоположном пути, на пути изыскания мощных общих приемов исследования, что было сделано гораздо позже.
Г. в эпоху упадка греч. культур ы. Греч, геометры следующей эпохи были заняты преимущественно приведением в порядок огромного накопленного материала.
Здесь выдвигаются, гл. образом, два имени: Герои и Папп (оба из Александрии). Если Евклид систематизировал и обработал чисто геометрический материал, скопившийся до него, то Герои сделал то же самое по отношению к метрике. Этому посвящено самое крупное его сочинение «Метрика»; книга носит прикладной характер; в ней объединено все, что относится к делу измерения, внесены и крупные собственные результаты.
Гораздо значительнее, однако, сочинение Паппа «Synagoge», суммирующее весь материал современной Паппу Г. (3 век хр. э.).
Оно написано с явною целью оживить классическую Г. и до некоторой степени представляет собою руководство к чтению в оригинале «великих геометров». Каждая основная задача решается всеми методами, к-рые были предложены различными классическими авторами. По материалу «Synagoge» неизмеримо богаче «Начал» Евклида; это — уже энциклопедия, охватывающая и Евклида, и Архимеда, и Аполлония, и Птолемея. Но система изложения та же: то же стремление к выдержанному синтезу, столь характерное для греч. Г., и та же интуиция, постоянно его нарушающая. Это стремление установить основы науки, из которых все остальное выводится чисто логически, это своеобразное гносеологическое направление, характерное для всей греч. философии, имело в Г. наибольший успех. Здесь, казалось, логика Аристотеля получила свое наиболее совершенное осуществление, служившее на многие века образцом строения точной науки, вплоть до стремления Спинозы геометризировать этику. — Именно, после Паппа, когда дальнейшее накопление геометрического материала приостановилось, начинается то усиленное стремление к углублению логического анализа начал Г., о к-ром говорит М. Кантор. Однако, в ту эпоху быстрого упадка греч. философии эти рассуждения были мало плодотворны. Во 2 веке до хр. эры «Начала» Евклида были уже классическим произведением; оставить его в стороне и построить основы Г. независимо от Евклида не решился никто. Его можно было только дополнять, разъяснять, исправлять, вообще комментировать. Сочинения, посвященные истолкованию «Начал», появились рано.
Первым комментатором Евклида был, повидимому, еще Гемин Родосский, живший во
