суждений — заключается сила творчества Архимеда, ставящая его неизмеримо выше всех остальных творцов классической Г.
Этими средствами он вычислил площадь сегмента параболы и спирали, поверхность и объем шара и шарового сегмента, объемы различных тел вращения, центры тяжести параболического сегмента, полукруга и полусферы и других тел вращения; но наиболее крупные достижения заключались в той общей формулировке, которую он дал законам статики и гидростатики; только общую формулировку придуманного им метода исчерпывания он еще не был в состоянии дать.
Т. о., творения Архимеда существенно отличаются от Г. Евклида и по материалу и по методу; это — огромный шаг вперед, это — новая эпоха. В изложении этих достижений, однако, выдержана система Евклида: аксиомы и постулаты в начале каждого сочинения, тонко продуманная цепь умозаключений, претендующая на совершенство сети силлогизмов. Но, как и система Евклида, Г. Архимеда постоянно отдает щедрую дань интуиции, при чем только рядом с геометрич. интуицией здесь появляется интуиция механическая.
Переходя к Аполлонию (вторая половина Зв.), нужно сказать, что творчество его, конечно, не идет в сравнение с талантом Архимеда; и, тем не менее, оно представляет чрезвычайно важную и блестящую страницу в истории греч. Г. Славу Аполлония составляет его сочинение о конических сечениях (в 8 книгах). Как уже было сказано, конические сечения были открыты Менехмом, хотя остается совершенно неизвестным, как он пришел к этим кривым. Во всяком случае, Аполлоний располагал уже двумя трактатами по коническим сечениям (Аристея и Евклида). Тем не менее, его сочинение является совершенно оригинальным.
Мы располагаем предисловиями автора к 7 книгам (сопроводительные письма к Евдему и Атталу), в которых он сообщает, что именно в каждой книге принадлежит ему.
Аполлоний претендует лишь на небольшую часть всего сочинения, но ему принадлежат, с одной стороны, самые сложные отделы — напр., разыскание пересечений конических сечений, условия их касания в одной и двух точках, и т. п., — а с другой стороны, чрезвычайно своеобразный и плодотворный метод. Как и его предшественники, Аполлоний получает все три кривые сечением конуса плоскостью, перпендикулярной к образующей. В зависимости от того, имеет ли осевое сечение при вершине конуса острый, прямой или тупой угол, мы получаем в сечении соответственно эллипс, гиперболу или параболу с вершиной на образующей.
Если коническое сечение (рисунок 3) в терминологии аналитической Г. отнесено к главной оси ОХ и к касательной в вершине OY, так что x=ON есть абсцисса, а y=MN есть ордината произвольной точки М кривой, то в случае параболы у2=2рх, где p=FG есть ордината ее фокуса,. это — уравнение параболы. В терминологии Евклида-Аполлония это выражается геометрически так; квадрат, построенный на ординате MN, равновелик двойному прямоугольнику, имеющему основанием расстояниеON, а высотой — постоянный отрезок FG.
В случае гиперболы разность между квадратом и тем же прямоугольником имеет положительное значение, а в случае эллипса — отрицательное; в том и в другом случае эта разность пропорциональна квадрату, построенному на абсциссе. Установив Рис. з. это предложение, Аполлоний фактически дает общее уравнение конического сечения в форме: у2 = 2рх + hx2.
Т. к. это отправная точка всех рассуждений Аполлония, то ясно, что его метод — это, по существу, метод современной аналитической Г., облеченный только внешним образом в геометрическую форму. Насколько близко Аполлоний подходит к приемам аналитической Г., можно судить по тому, что первые его шаги после установления основного предложения представляют собою фактически не что иное, как преобразование координат (перенесение начала в другую точку кривой). Та же печать геометрической аналитики лежит и на другом, весьма замечательном сочинении Аполлония «О плоских геометрических местах», дошедшем до нас только в восстановленных отрывках. Не располагая алгебраическими обозначениями, Аполлоний проявляет огромный талант, чтобы скомбинировать получающиеся соотношения в необходимые выводы. При всем том он пришел к очень громоздкой системе, в которой гораздо труднее разобраться, чем в значительно более глубоких рассуждениях Архимеда. Существенно, однако, то, что Аполлоний несомненно в той же мере является предшественником Ферма и Декарта, в какой Архимед является предшественником Кавальери, Лейбница и Ньютона. Таким"обр., если в первый эллинский период была создана элементарная Г., то во второй были заложены начала высшей математики, дифференциальной и аналитической геометрии.
Эпоха великих астрономов. За эпохой «великих геометров» следует третий период греч. Г., к-рый было бы правильнее всего назвать астрономическим. Этот период открывает еще Эратосфен, произведший в конце 3 в. первое измерение длины земного меридиана; но главную роль в этуэпоху играют Гиппарх, Менелай и Птолемей. Гиппарх (2 в. до хр. э.) и Птолемей, отделенные друг от друга, правда, почти тремя столетиями, построили систему мира, основанную уже на продолжительных наблюдениях и вычислениях. Сочинение Птолемея «Канон математики», известное больше под своим арабским названием «Альмагест», содержало сводку всего математического знания, необходимого для понимания системы мира, в том же сочинении изложенной. Для астрономии калькуляционная сторона играла особо важную роль, и прежде всего важное значение имело решение треугольников, прямолинейных и сферических. В соответ-
