мому, потому, что Евклид посвятил им особое сочинение, до нас не дошедшее. В эту первую эпоху уже возникли три знаменитые задачи — об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга (см.), составлявшие в течение многих веков камни преткновения человеческой мысли. И, в сущности, в ту же эпоху были даны исчерпывающие решения всех трех проблем при помощи соответствующих кривых. Никомед придумал для решения первых двух задач конхоиду, Диоклес — циссоиду; Гиппократ показал, что задача сводится к разысканию двух средних пропорциональных (т. е. двух отрезков х и у, образующих с данными двумя отрезками anb пропорции а:х=х:у; х:у=у:Ъ). Менехм показал, что эти средние пропорциональные можно получить, разыскав пересечения двух парабол. Фактически в этом содержалось полное геометрическое решение уравнения 3-й степени, полное же решение уравнения 2-й степени содержится во 2-й книге Евклида. Все это есть геометрическое предвосхищение будущей алгебры. Задача о квадратуре круга ведет дальше; Гиппий Элидский придумал для этого трансцендентную кривую — квадратриссу. Не было только доказано, что эти задачи не могут быть разрешены теми элементарными средствами (циркулем и линейкой), какими этого хотели достигнуть. Можно сказать, что к концу того периода, к-рому Евклид подвел итоги, греки владели всеми геометрическими средствами, к-рыми мы владеем в наст, время для решения задач до 4-й степени включительно.
Эпоха великих геометров (второй Александрийский период). Наиболее характерной чертой второй Александрийской эпохи является то, что она принесла с собой метрику, которой Г. Евклида не доставало. Ту задачу, которую Евклид, м. б., сознательно обходил, — измерение — Архимед поставил во главу угла. Это не случайно, а связано с тем прикладным направлением, к-рым проникнуто все творчество Архимеда, жившего в эпоху (Зв. до хр. э.), когда борьба между отдельными греч. государствами за независимость и за гегемонию достигла величайшего напряжения; старость же его протекла в годы, когда началась решительная борьба Эллады за самое ее существование. Легенды связывают всю защиту Сиракуз с именем Архимеда, к-рый изобретал все новые и новые метательные орудия, отражавшие суда осаждавших. Сколько в этом правды, судить трудно. Но Плутарх свидетельствует, что деятельность инженера-практика Архимеда никогда не прельщала, он и не написал по этому предмету ни одного сочинения. В 3 в. до хр. э. прикладные задачи стояли уже перед эллинскими учеными во весь рост. Заслуга Архимеда заключалась не в том, что он построил значительное число катапульт, а в том, что он установил теоретические основы, на к-рых в конечном счете и по сей день покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а следовательно, площадей и объемов, а также центров тяжести; механика настоятельно требовала метрическ. Г.; на этом и сосредоточено внимание Архимеда в Г. Трудно 332
сти несоизмеримых отношений он преодолевает в том порядке, который по наст, время остается, по существу, единственным средством не только практического вычисления, но и теоретического построения учения об иррациональных величинах, — путем составления последовательных приближений. Но на этом-то пути и было необходимо исключительное искусство, ибо тяжеловесная система счисления представляла самое слабое место греч. математики. Архимед пытался найти радикальные средства для преодоления трудностей счисления — этому посвящена его книга «Исчисление . песка». К цели это не привело. Это сочинение представляет собою лишнее свидетельство исключительного остроумия Архимеда, но не дает хороших средств для практического счета. Наиболее важным было приближенное вычисление квадратных корней, необходимое для приближенного же вычисления длины окружности; этому посвящено особое, небольшое сочинение, по существу заключающее приближенное вычисление периметров правильных 96 — угольников, вписанного в окружность и описанного около нее. Все это вычисление исходит из приближенных значений: 265 'гЪ' Е351Г0Как Архимед нашел эти приближения, остается неразгаданным по настоящее время. Но если осуществление этих расчетов, которые в геометрич. форме скрыты уже у Евклида, требовало только искусства приблизительного вычисления, то более сложные задачи — вычисление площадей, ограниченных замкнутыми кривыми, и объемов тел, ограниченных кривыми поверхностями, вычисление их центров тяжестей — требовало уже принципиально новых методов. И Архимед их дал; он изобрел метод исчерпывания (см. Бесконечно-большие и бесконечно-малые) и этим положил начало исчислению бесконечномалых, к-рое довел, если не систематически, то на частных случаях, до средств современного интегрального исчисления. Общих приемов для вычисления определенных интегралов, к к-рым сводятся эти задачи, Архимед не имел. И тем удивительнее искусство, с к-рым он их разрешал. В послании к Эратосфену Родосскому Архимед рассказывает о своем методе (которому послание собственно посвящено) и сообщает, что для тонких вычислений он нередко прибегал к механическим средствам; он как бы взвешивал (теоретически, по правилу рычага) элементы одной фигуры элементами другой, измерение которой не представляло уже затруднений.
«Многое, — говорит он, — становилось мне ясным, благодаря механическим соображениям, хотя результаты нуждались еще в геометрическом доказательстве, ибо исследование их этими средствами такого доказательства еще не содержит. Но когда этими средствами нек-рые сведения о вопросе уже приобретены, дополнить доказательство становится уже гораздо легче». В этом искусном соединении противоположных средств — механических представлений, гораздо более конкретных, чем чисто геометрическая интуиция Евклида, и тонких логических рас-
