плоских фигур. Теорию пропорций и подобия мы привыкли завершать учением об измерении площадей — выражением площади числом. Евклид этим не занимается, его Г. не метрическая. Задача выражения значения величины числом остается ему чуждой; приведенным выше предложением об отношении площадей двух прямоугольников в его геометрической форме исчерпывается то, что у него заменяет наше выражение площади треугольника. Одно от другого лежит очень близко, но точки зрения существенно различны.
Если первые шесть книг Евклида излагают «геометрию геометрически», то в следующих трех, т. н. арифметических книгах Евклид, действительно, занимается геометризацией учения о числе. Можно сказать, что эти книги охватывают те части учения о числе, к-рые проистекают из последовательного деления. Этот процесс и начинает 7 — ю книгу, конечно, в геометрической форме, в порядке нахождения общей наибольшей меры двух соизмеримых отрезков; он отсюда и получил название алгорифма Евклида. Переходя далее к числам, Евклид изображает их всегда отрезками. Он дает теперь арифметическую теорию пропорций, но только в порядке применения теории Евдокса к отрезкам, изображающим целые числа. Даже самые термины — плоские, прямоугольные, квадратные, телесные, кубические числа — отчетливо говорят о геометрических аналогиях, которые руководят изложением. Но нужно сказать, что очень часто эта аналогия остается чисто внешней и глубоко не идет.
Зато 10 — я книга настолько глубоко проникнута геометрическим методом, что ее и в наст, время обычно относят к Г. Она содержит теорию иррациональных выражений; в нашей терминологии можно сказать, что она содержит классификацию иррациональностей, составленных из квадратных радикалов'. Но у Евклида речь идет исключительно об отрезках, построенных циркулем и линейкой, и в последовательности приемов построения он находит критерии для установления несводимых друг к другу типов иррациональностей. Это — самая большая, наиболее глубокая книга, но, вместе с тем, она в большей мере, чем другие книги «Начал», утратила в настоящее время интерес, т. к. алгебраическими средствами эта классификация осуществляется неизмеримо более просто. Книги 11—13 содержат стереометрию, и в них проведены те же методы.
Т. о., строго выдержанная геометрическая обработка, в конечном счете опирающаяся на сравнение геометрических объектов путем наложения и имеющая явно выраженную тенденцию к геометризации всей математики, — таков метод всех рассуждений в «Началах» Евклида. Причины, вызвавшие такое преобладание Г., несомненно заключаются в том, что она соединяет достаточно глубокую абстракцию, приводящую к выводам большой общности, с конкретными представлениями, дающими широкий простор интуиции. Геометрия счастливо объединяет эти противоположные стороны научной мысли, и в порядке укрепления этой связи развертывается ее многовековая эволюция.Каждую книгу Евклид начинает определением тех терминов, к-рые он в этой книге вводит. Первая книга начинается 23 определениями; за ними следуют постулаты и аксиомы (см.). Далее идут одно за другим, без всяких связующих рассуждений, предложения: каждое предложение формулируется, затем указывается, что дано и что требуется доказать; далее следует самое доказательство с ссылками на предыдущие предложения, определения, постулаты и аксиомы. Через все сочинение, так. обр., проходит стремление не только привести весь материал Г. в последовательно продуманную систему, но и логически вывести его из небольшого числа определений и предпосылок — постулатов и аксиом. Самую систему выводов Евклид понимает так, как это изложено Аристотелем во «Второй аналитике»: они должны разворачиваться в непрерывную цепь силлогизмов. Но, чтобы это было возможно, самые предпосылки должны давать для этого достаточный материал. Предпосылки Евклида этому далеко не удовлетворяют. Его определения основных терминов настолько расплывчаты, что он нигде на них не ссылается; его аксиомы и постулаты недостаточны для того, чтобы на них основывать формальные выводы, и последние постоянно чередуются у него с интуитивными заключениями. Интуиция, — то же «смотри» Ганеси, — играет у Евклида коренную роль, но она более тонко замаскирована. С первого же предложения он оперирует понятиями «внутри» и «вне», «между», «по одну» и «по другую сторону», не давая их определения; он ссылается на пересечение линий или на их расположение, не оправданное предыдущими рассуждениями. Можно сказать, что «Начала» Евклида содержат слишком много логики для того, кто только желает приобрести субъективную уверенность в истинности высказанного предложения, и слишком много интуиции для того, кто ищет в них формально выдержанную логическую систему. В соответствии с этим, одни старались упростить систему Евклида, но почти неизменно впадали в ошибки, в особенности при усложнении задачи; другие ставили себе целью уточнить и пополнить цепь рассуждений, но часто запутывались в мелких звеньях обширного ряда силлогизмов, не освобождаясь от интуиции. В порядке преодоления этих противоречий то в ту, то в другую, сторону шла эволюция Г.
«Начала» Евклида были той школой, в которой учились те и другие. Силой геометрического созерцания, которым проникнуто все сочинение, «Начала» растили интуицию; стройцостью своих рассуждений они учили строгой математической мысли. Через эту школу прошли все математики вплоть до нашего времени, и прежде всего из этой школы вышли геометры второй эпохи эллинского творчества, возглавляемые Архимедом и Аполлонием.
Классические задачи Александрийского периода. «Начала» Евклида отнюдь не охватили всей Г. первой Александрийской эпохи. Менехм в середине 4 в. уже открыл конические сечения: они не вошли в «Начала», повиди-
