сохраняя его направление и обращая его в ту же сторону, если к есть положительное число, и в противоположную при отрицательном к. В частности, — 1. А — — А, есть В., равный по 'С 'ч длине, но проти/ Л/ Х'? X воположный В.
' \/ . n '
А. Соотношение / /... л в — X \ (рис. 7) I / \
кА — J- &В = \/ kA +kB Х' = к(А + В) Рис. 7. есть В-ное выражение теоремы о том, что, отсекая от сторон угла пропорциональные отрезки, мы получаем подобные треугольники. С другой стороны, на рис. 4 мы видим, что В= ОР=С — А= OQ — PQ= OQ+ QP=C-\-{ — A}.
Вычитание В. равносильно, т. о., прибавлению противоположного В. Т. о. составляется понятие об алгебраической сумме В-ов, и она сохраняет все формальные свойства алгебраической суммы чисел. На этой стадии В-ная алгебра формально ничем не отличается от алгебры чисел.
2, Координация В» В Т6СН0Й СВЯЗИ СО СЛОЖв — нием и вычитанием В. находится численная координация их. Если два В. А и В коллинеарны, т. е. принадлежат одной и той же или параллельным прямым, то один из них может быть выражен через другой умножением на некоторое число: В = аА или А=рВ. Коллинеарность В-ов А и В выражается обыкновенно формулой более общего вида: аА + рВ = О, к-рая дает возможность выразить один В. через другой. Если же такое соотношение существует для двух неколлинеарных В-ов, то оба коэффициента а и р должны быть равны нулю. — Если а есть единичный В., т. е. В., имеющий единицу длины, то всякий коллинеарный с ним В. А может быть представлен в виде А=Ааа, где Аа есть число, выражающее длину В. А или отличающееся от нее знаком; это число Аа называется скалярным значением или координатой В. Л. относительно а. Если два В. 4 и В не коллинеарны, а третий В. С с ними компланарен, т. е. при центрировании лежит в одной с ними плоскости, то его всегда можно разложить (представить в виде суммы) на два В., коллинеарных соответственно сАиВ (рис. 8); эти слагающие В. можно поэтому представить в виде аА и рв, а потому С=аА+рВ.
Так как разложение это совершается однозначно, то и числа а и р определяются Рис. 8. однозначно. Особенный интерес представляет случай, когда А и В суть единичные В., к-рые обозначим через ж и у. Всякий компланарный с ними В. можно в этом случае представить в видеА=Ахж+Ауу; В-ы Ахж и Ауу называются компонентами, а числа Ах и Ау — с к алярными значениями или координатами В. относительно ж и у. Если В. Л. не компланарен о В-ми ж и у, то к последним нужно присоединить третий некомпланарный ни с одним из них единичный В. 2, и тогда таким же образом обнаружим, что любой В. А можно представить в виде: A=A, jx+Avy+A^, (1) где Ах, Ау, Az суть числа — координаты В. относительно координатной системы (ж, у, з); В-ы Ахж, Ауу, Агя суть компоненты В-a А.
Однако, очень часто во всей литературе слово «компоненты» употребляется также в значении «координаты»; осведомленного читателя это не может вводить в заблуждение. — Всякий В. выражается, т. о., линейно через три независимых (некомпланарных) В. В этом смысле В-ная алгебра принадлежит к числу т. н. линейных алгебр трех измерений. Как мы видели, так же выражаются Максуэллово-Гамильтоновы кватернионы. Таковы следствия, к которым приводит установленное понятие об умножении В. на число в связи со сложением и вычитанием В-ов. Т. к. каждый В. определяется тремя координатами, то в дальнейшем всякая В-ная операция сопровождается проведением ее в координатах. Легко видеть, что координаты суммы и разности В. А и В выражаются, соответственно, формулами
АХ±ВХ, Ау±Ву, Аг±Вг. з. Умножение в. Обращаемся к перемножению В-ов. В В-ной алгебре установлено двоякое умножение В.: скалярное и геометрическое; при первом произведение есть число, а при втором — вектор.
Если материальная точка, под действием постоянной силы F, вследствие существующих связей, движется по прямой, образующей с F угол со, и в нек-рый промежуток времени пробегает отрезок 8, к-рый в направлении движения можно рассматривать, как В. 8, то выполненная силой на этом пути работа выражается произведением F8S, где F8 — скалярное, значение проекции В.
. FpiaS, так что F8=F cosco; F8S=FS cosco.
При любом движении той ясе формулой выражается элемент работы с той разницей, что место В. S занимает бесконечномалый В. — элемент пути dS, Эта комбинация, встречающаяся чрезвычайно часто во всех прикладных дисциплинах, послужила поводом назвать число FS cosw с к алярным произведением В-ов F и 8; в общем виде оно выражается положением:
FS=FScos(FS)=F8S — SfF.
Из самого этого определения видно, что скалярное произведение двух В. не изменяется при перестановке сомножителей. Но и распределительный закон остается в силе.
В самом деле, если А +В=С, то (Л-j-JB) = C8S; но Cs — A8 + Bs (проекция суммы равна сумме проекций). Поэтому (Л+В) В= =(Лв+Вв)£ = AsS + BsS=AS+B8. В силу этого, многочлены, составленные из В-ов,
