sion, Esquisse de 1’histoire du calcul infinitesimal, Gand, 1887; G. V i v a n t i, Il concetto d’infinitesimo e la sua applicazione alia matematica, Napoli, 1901; Th. Heath, Archimedes Werke, deutsch von F. Kliem, B., 1914; здесь вводная статья: Antizipationen der Integralrechnung bei Archimedes; L. Coutu r a t, De 1’infini mathSmatique, P., 1896; L. M. N.
Carnot, Reflexions sur la metaphysique du calcul infinitesimal, P., 1797 (4 ed. 1860); B. Bolzano, Paradoxien des Unendlichen, Lpz., 1851, B., 1889; (русский перевод: Б. Больцано, Парадоксы бесконечного, пер. под ред. проф. И. В. Слешинского, Одесса, 1911); Ф. Энгельс, О прообразах математического «бесконечного» в действительном мире.
Примечания к «Анти-Дюрингу», 1878, в «Архиве К. Маркса и Ф. Энгельса», т. 2; е г о же, О неспособности Негели познать бесконечное, там же; его ж е, Анти-Дюринг, стр. 123, 45—47, П., 1918; Д еборин, А., Диалектика у Канта, в «Архиве К. Маркса и Ф. Энгельса», т. I; G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Lpz., 1883 (также в «Mathem. Annalen», Bd. 23); A. F r a e nk e 1, Einleitung in die Mengenlehre, 2 Aufl., B., 1923; R. Baldus, Formalismus und Intuitionismus in der Mathematik, Karlsruhe, 1924. В. KCLSCLH.
БЕСКОНЕЧНОЕ. I. Определение
и
происхождение понятия.
a) Первоначально представление о Б. имеет тенденцию, как на то указывает языковая форма этого слова, выводить бесконечное из конечного, при чем предполагается, что это последнее дано нам непосредственно в опыте, в чувственном созерцании. Такое конечное, данное посредством опыта, характеризуется тем, что оно имеет границу (или предел). Это имеет силу как в отношении качества (каждая вещь имеет определенные свойства, которыми она отграничивается от другой вещи), так и в — отношении количества (пространственная отграниченность, конечное число).
Бесконечное должно быть выведено из конечного исключительно только путем процесса абстракции, посредством о трицания границы. Это можно выразить также и следующим образом: опыт дает нам только конечное, существует только конечное познание. Конечное и бесконечное, согласно этому представлению, абсолютно разобщены. Бесконечное находится по* ту сторону конечного, оно есть нечто, ему абсолютно противоположное.
b) Ближайшее рассмотрение показывает, однако, что опыт дает не только границ у (ограниченные вещи), но и непрерывное перехождение границы. Все границы обнаруживаются одинаково и в природе и в истории, как границы относительные, постоянно оказывающиеся перейденными (преодоленными). Что касается' качественных границ, то опыт обнаруживает безграничное изменение всех вещей. Все, что первоначальному, ограниченному опыту казалось неизменным, устранено позднейшим опытом, когда стали известны — переход одних форм движения в другие (механическое движение, свет, электричество, магнетизм, химическая энергия), превращение химических элементов, изменение видов живых существ, изменение общественных форм и т. д. То же самое имеет силу и по отношению к количественной границе: с одной стороны, благодаря улучшению физических инструментов, как бы раздвигаются границы мирового целого, с другой — столь же непрерывно прогрессирует метод разложения тел (поступательное движение в направлениибесконечно малого). Соответственно этому, опыт одинаково непосредственно дает бесконечное и в смысле качественного и в смысле количественного бесконечного, — бесконечно большое, как и бесконечно малое. И если раньше бесконечное рассматривалось лишь как нечто мыслимое (некоторая абстракция или нечто идеальное), то теперь с тем же правом конечное может быть принимаемо, как нечто только мыслимое в отношении к бесконечному.
c) Абсолютное разобщение и противоположность между конечным и бесконечным обнаруживаются поэтому, как не имеющие значения ни в опыте, ни в мышлении. В конечном можно безгранично продвигаться вперед: оно непрерывно выводит за свои собственные пределы — в бесконечное. Бесконечное же оказывается только суммой конечного, неизменным в ряду изменчивого; то, что по величине своей безгранично, — только суммой конечных величин. Это и составляет тождественность бесконечного и конечного, к-рая имеет, однако, место одновременно с их различием.
d) «Дурная бесконечность» и истинное Б. Под «дурной бесконечностью» (schlechte Unendlichkeit) Гегель понимает такую бесконечность, при к-рой происходит непрерывный выход за пределы конечного, и бесконечность оказывается только границей, к к-рой можно всегда в любой мере приближаться, но которой никогда нельзя достичь, т. ч. она является чем-то потусторонним. «Дурной» или неистинной эта бесконечность называется потому, что она никогда не достигает бесконечного и это последнее всегда противостоит ей, как нечто другое, чуждое.
Эта дурная бесконечность является поэтому только «прогрессом в бесконечное» (progressus in infinitum). Бесконечное обнаруживается при этом в равной мере и качественно и количественно: качественно — как бесконечный ряд изменений конечных вещей, как превращение некоторого нечто в другое в безграничном повторении этого превращения, — как безграничная цепь причин и действий, при чем и те и другие попеременно переходят друг в друга: причина производит действие, действие, в свою очередь, становится причиной ит. д.; количественно — дурная бесконечность раскрывается как бесконечный ряд величин, приближающихся к определенной предельной величине, но никогда ее не достигающих.
Истинная бесконечность есть достигнутая бесконечность, т. — е такая, в к-рой бесконечность достигла замкнутого в себе совершенного выражения, в к-рой бесконечное завершено с п о лн а. Такой бесконечностью в качественном смысле является «закон изменений», в котором бесконечный ряд изменений вещи или вещей приведен к замкнутому в себе, простому, общему выражению. Все законы природы и все исторические законы представляют собой истинную качественную бесконечность. Безграничная цепь причин и действий становится здесь выражением всеобщего взаимодействия. В ко-
