значения4 — со и — оо; напр., tg 90° можно считать равным как 4 — оо, так и — оо.
Все приведенные примеры очень элементарны, но в комбинации их они очень усложняются, и распутать их не легко. Вокруг понятия об актуально Б. — б-ом создалась своеобразная атмосфера страха (Horror infinity, к-рая поддерживалась авторитетом Коши, Гаусса, Бертрана, Римана, Эрмита, Вейерштрасса, Кронекера, Чебышева и др., при всем различии в воззрениях этих математиков. И при всем том во второй половине 19 в. была сделана серьезная попытка возродить учение об актуально Б. — б-их величинах, на этот раз гораздо более глубоко продуманная. К противоречиям, проникавшим во все рассуждения об актуально Б . — б-ом, подошли тем единственным путем, к-рый был в состоянии выяснить истину, за ним скрывающуюся, — именно, поставили себе задачей вскрыть источники этих противоречий и создать синтез, к-рый бы их нивелировал, «снял», по терминологии Гегеля.
Георг Кантор, к-рому принадлежит в этом деле самая крупная заслуга, прежде всего, установил следующее положение: «Все возражения против актуально Б. — б-их, — писал он в 1885, — вращаются в ложном кругу, ибо они a priori принимают, что Б. — б-ое число есть такое же число, как и конечные числа, а потому обладает всеми свойствами конечных чисел». Чтобы из этого заколдованного круга выйти, нужно было, прежде всего, определить, чтб мы разумеем под бесконечной совокупностью. На первый взгляд Б. — б-ое количество (число) определяется просто прямым противоположением конечному числу. Действительно, понятие это, несомненно, возникло уже после того, как сложился натуральный ряд, и им овладели не только практика повседневной жизни, но и научная мысль.
Однако, свойство конечности числам натурального ряда стали приписывать в противоположении диалектически создавшемуся понятию о Б. — б-ом, а не наоборот, — совершенно так же, как вещественные числа, возникшие раныце мнимых, были так наименованы в противоположность мнимым числам, стихийно проложившим себе путь в математику. Т. о., не Б. — б-ое число определяется по конечному путем отрицания, t а конечное определяется по Б. — б-му путём отрицания отрицания. Диалектики давно указали, что этот путь часто заменяет прямое определение. Далеко не связанный с диалектикой непосредственно, Г. Кантор стал на этот именно путь для отличия конечного от Б. — б-ого.
В 1879 Г. Кантор опубликовал в «Mathematische Annalen» первую статью под названием «Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten» («О бесконечных линейных точечных многообразиях»); за ней последовало в промежуток времени 1879—1884 еще пять мемуаров, развивавших те же идеи; из этих мемуаров основное значение имеет мемуар «Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre», 1883. В этих работах, за к-рыми последовали исследования Шёнфлиса, Гаусдорфа, Цермело, Френкеля и др., была создана дисциплина, систематиче 744
ски обработавшая учение о Б. — б-их множествах, а вместе с тем — и о Б. — б-их числах.
Если эта дисциплина в нек-рых существенных пунктах и вызывает серьезные возражения (см. ниже), то многие ее достижения несомненно утвердились.
Под множеством (см.) или многообразием Кантор, следуя Риману, разумеет всякую совокупность объектов, конкретных или отвлеченных, выделенных в обособленное целое; эти объекты составляют элементы множества (мн-ва), они выделены в обособленное целое: это значит, что указан признак, по к-рому мы относительно каждого объекта можем сказать, является ли он элементом данного мн-ва, или нет. Группа учеников, как она определяется в школе, класс животных или растений, рота красноармейцев, нация, совокупность всех окружностей, совокупность точек данного отрезка, совокупность целых чисел первой сотни, совокупность всех целых чисел, совокупность рациональных чисел, совокупность всех действительных чисел, — все это суть различные мн-ва. Элементом мн-ва может также служить мн-во; таково, напр., мн-во, состоящее из всех возможных арифметических прогрессий.
Другим основным понятием, на к-рое опирается канторова теория мн-в, является процесс, к-рый в теории мн-в получил особую форму осуществления и называется сопряжением, установлением соответствия между двумя мн-вами. В классной комнате находится мн-во учеников У и мнтво чернильниц Т.
Если каждому ученику назначить чернильницу, то этим мн-во У будет приведено в соответствие или в сопряжение с мн-вом Ч.
Когда мы нумеруем 5 комнат квартиры, то мы приводим мн-во этих комнат в соответствие с мн-вом чисел 1, К, 3, 4, 5. В примере Больцано мн-во точек, образующих отрезок АВ (рис. 8), приведено в соответствие, посредством проектирования, с мн-вом точек отрезка А'В'. Представляя себе из центра круга радиус, идущий к каждой точке окружности, мы устанавливаем соответствие между мн-вом точек окружности и мн-вом радиусов; говорят, что это соответствие одно-однозначное или совершенное, потому что каждой точке отвечает один радиус и, обратно, каждому радиусу — одна точка окружности. Если мн-во I каким-либо образом может быть приведено в одно — однозначное соответствие с мн-вом И, так что ни в том, ни в другом мн-ве не останется свободных элементов, то, по терминологии Кантора, мн-во I имеет ту же мощность, что и мн-во II, или мн-во Эквивалентно мн-ву II. Если же, при установлении такого соответствия, как бы мы его ни выполняли, в одном из мн-в, скажем во мн-ве II, остаются лишние элементы, то мы говорим, что многообразие (мн-во) II имеет ббльшую мощность, нежели многообразие (мн-во) I.
Так, если, при распределении чернильниц между учениками в приведенном выше примере, на каждого ученика пришлась чернильница и не оказалось лишних чернильниц, то мн-во У эквивалентно мн-ву Ч
