тіемъ всѣхъ другихъ аксіомъ, непремѣнно привѳло бы къ логи- ческирротиворѣчивымъ слѣдствіямъ. Отсутствіѳ такихъ противорѣчій въ геометріи Лобачевскаго служитъ указаніемъ на независимость 5-го постулата Эвклида отъ прочихъ геометрическихъ аксіомъ и, слѣд., на невозможность доказать его *).
94. Почти одновременно съ Лобачевскимъ, независимо отъ него, Венгерекій математикъ Іоаннъ Вольэ (1802—1860) также построилъ новую геомѳтрію, исходя изъ того же допущенія, какъ и Лобачевскій, что черезъ точку, взятую внѣ прямой, можно провести безчисленное множество параллельныхъ этой прямой. Позже ихъ нѣмеукій математикъ P и м а н ъ (1820—1866) пока- залъ возможность построенія еще особой, также лишенной противо- рѣчій, геометріи (названной потомъ геометріей Римана), въ которой вмѣсто постулата Эвклида принимается допущѳніе, что черезъ точку, взятую внѣ прямой, нельзя провѳсти ниодной параллельной этой пря- м о й (другими словами, всѣ прямыя плоскости пересѣкаются). Всѣ тѣ геометріи (какъ Лобачевскаго и Римана), въ которыхъ въ основаніе положено какое-нибудь допущеніе о параллельныхъ линіяхъ, не согласное съ постулатомъ Эвклида, носятъ обціее названіе не-Эвклидовыхъ геохметрій.
95. Приведемъ нѣкоторыя теоремы геометріи Лобачевскаго, рѣзко- различающіяся отъ соотвѣтствующихъ теоремъ геометріи Эвклида: Два перпендикуляра къ одной и той же прямой, по мѣрѣ удаленія отъ этой прямой, расходятся неограниченно. СумМа угловъ треугольника меньше 2d (въ геометріи Римана она больше 24), при чемъ эта сумма не есть величина постоянная для разныхъ треугольниковъ. Чѣмъ больше плоціадь треугольн.ика, тѣмъ большѳ сумма его угловъ разнится отъ 2d.
- ) Замѣтимъ, однако, что одно только отсутствіѳ противорѣчій
въ геометріи Лобачевскаго еціе нѳ служитъ доказательствомъ незави- симости Эвклидова постулата отъ другихъ аксіомъ геометріи; вѣдь всегда можно возразить, что это отсутствіе противорѣчій ѳсть только случайное явлеыіе, происходящее, быть -можетъ, отъ того, что въ гѳо- метріи Лобачёвскаго не сдѣлано еще достаточнаго количества выво- довъ, что со временемъ, быть можетъ, и удастся кому-нибудь получить такой логическій выводъ въ этой геометріи, который окажется въ про- тиворѣчіи съ какимъ-нибудь другимъ выводомъ той же геометріи. Подробная теорія этого вопроса (см. Энуиклоп е д і я э л е м. математики Вѳбера и Вельштейна,- т. II, кн. 1, стр. 74 и др.) устанавливаетъ: 1) что если бы въ геометріи Лобачев- скаго или въ какой-нибудь другой не-Эвклидовой гёометріи оказалось поотиворѣчіё, то и въ ЭвклндовоЙ гебметріи Оыло бы соотвѣтствуісйгте нротпворѣчіе; но 2) въ Эвклидовой геометрін противорѣчій быть не можетъ. Отсюда, конечно, необходимо слѣдуетъ, что постулатъ Эвклида HO предотавляетъ собою слѣдствія другихъ аксіомъ и потому онъ подокязуемъ.
