ваемъ на теоремѣ Птоломея и на другой, добавленной теперь (§ 244), объ отношеніи діагоналей такого четыреугольника.
Нѣкоторымъ измѣненіямъ (и дополненіямъ) подверглись также теоремы о пропорціональныхъ линіяхъ въ кругѣ (§§ 246, 247, 248, 249).
7°. Нѣсколько измѣнено изложеніе опредѣленія длины окружности и ея частей (§ 286) и упрощено доказательство теоремы (§ 288), что «длина дуги больше стягивающей ее хорды, но меньше всякой ломаной линіи, описанной около этой дуги и имѣющей съ нею одни и тѣ же концы».
8°. Существенно передѣлано теперь изложеніе теоремы: «площадь прямоугольника равна произведенію его основанія на высоту» (§ 305). Въ предыдущихъ изданіяхъ доказательство этой теоремы основывалось на двухъ предварительныхъ леммахъ объ отношеніи площадей прямоугольниковъ, причемъ приходилось перемножать между собою двѣ пропорціи, сокращая послѣдующій членъ одной пропорціи съ предыдущимъ членомъ другой, т.-е. приходилось скрытымъ образомъ предполагать, что площади, представляющія собою эти члены, уже выражены числами. Теперь мы даемъ прямое, болѣе строгое и вмѣстѣ съ тѣмъ болѣе ясное, доказательство этой теоремы и только, какъ слѣдствіе изъ нея, выводимъ (§ 306) заключеніе объ отношеніи площадей двухъ прямоугольниковъ.
9°. Въ началѣ главы «Площади многоугольниковъ» мы помѣстили замѣчаніе (мелкимъ шрифтомъ, § 301), указывающее на важный вопросъ, возникающій относительно основныхъ допущеній о площадяхъ, а также дали наглядное понятіе о томъ (§ 303), что слѣдуетъ разумѣть подъ числомъ, измѣряющимъ какую-нибудь данную площадь въ квадратныхъ единицахъ.
10°. Въ нѣкоторыхъ случаяхъ, не ограничиваясь обычнымъ доказательствомъ равновеликости фигуръ, мы дали дополнительное замѣчаніе о возможности разложенія этихъ фигуръ на соотвѣтственно конгруентныя части (въ § 309 — о превращеніи параллелограммовъ, въ § 312 — о превращеніи треугольника въ прямоугольникъ и въ § 315 — о превращеніи трапеціи въ прямоугольникъ).
11°. Для большей наглядности мы привели третье доказательство теоремы Пиѳагора (§ 321), показывающее, какъ разложить сумму квадратовъ, построенныхъ на катетахъ, на такія части, изъ которыхъ, перемѣщеніемъ ихъ, можно образовать квадратъ, построенный на гипотенузѣ.
