Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание XX

Примечание XX. : Об образовании кривых 3-го порядка посредством пяти расходящихся парабол и посредством пяти кривых, имеющих центр.
автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер

Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Индекс в Викитеке

Об образовании кривых 3-го порядка посредством пяти расходящихся парабол и посредством пяти кривых, имеющих центр.

Примечание к гл. IV, n° 4.

Обе теоремы, которые мы предполагаем доказать, основываются на одном свойстве точек перегиба в кривых третьего порядка; свойство это может быть выражено следующим образом:

Если около точки перегиба кривой третьего порядка будем вращать секущую и в двух точках пересечения её с кривой проводить касательные, то точка встречи этих касательных будет описывать прямую линию.

На этой же прямой встречаются прямые, соединяющие попарно точки пересечения двух секущих с кривой.

Наконец эта же прямая пересекает каждую секущую в точке гармонически сопряженной с точкою перегиба относительно двух точек пересечения секущей с кривой.

Само собою ясно, что эта прямая проходит через точки прикосновения трех касательных, которые вообще можно провести к кривой из точки перегиба. Из этого мы видим, что эта прямая и точка перегиба играют по отношению к кривой такую же роль, как точка и её поляра по отношению к коническому сечению. Мы назовем поэтому эту прямую — полярою точки перегиба.

Высказанная теорема легко может быть доказана путем геометрических соображений^[1] и отсюда можно вывесть различные свойства кривых третьего порядка. Здесь мы предлагаем себе показать только приложение этой теоремы к доказательству двух способов происхождения всех кривых третьего порядка посредством теней пяти из них.

Известно, что каждая кривая третьего порядка имеет или одну, или три точки перегиба^[2]. Если посредством перспективы проложим кривую так, чтобы одна из точек перегиба удалилась в бесконечность, то поляра её, на основании третьей части нашего предложения, сделается диаметром кривой. Таково происхождение диаметров в кривых третьего порядка.

Сделаем теперь перспективу так, чтобы не только точка перегиба, но и касательная к кривой в этой точке была удалена в бесконечность; тогда кривая будет иметь диаметр, но не будет иметь асимптот, и потому будет отличаться чисто параболическим характером; в этом и заключается исключительный признак пяти расходящихся парабол. Таким образом доказано, что всякая кривая третьего порядка может пролагаться посредством перспективы по одной из пяти расходящихся парабол; отсюда обратно следует, что эти пять кривых могут своими тенями образовать все другие кривые. В этом состоит первая из доказываемых нами теорем; она принадлежит Ньютону.

Переходим ко второй. Представим себе в данной кривой поляру её точки перегиба и сделаем перспективное проложение кривой так, чтобы эта поляра удалилась в бесконечность: из третьей части нашей теоремы следует, что в проложении точка перегиба будет центром кривой. Следовательно всякая кривая третьего порядка может быть посредством перспективы проложена по кривой, имеющей центр; отсюда обратно заключаем, что пять кривых, имеющих центр, могут посредством своих теней образовать все остальные кривые. В этом состоит вторая из теорем, которые мы желали доказать.

Эта теорема и предыдущая теорема Ньютона могут быть выражены в одном предложении.

Подобно кривым второго порядка, которые ведут только к одному виду конуса, кривые третьего порядка могут вести только к пяти видам конусов.

Пересекая эти конусы известным образом, получим пять кубических парабол.

При других способах пересечения получаются пять кривых, имеющих центр.

Теорема, приведенная в начале этого Примечания, дает очень простое объяснение различных свойств кривых третьего порядка, имеющих центр, и также многих свойств точек перегиба. Но мы не можем входить здесь в дальнейшие подробности.

Примечания

1. [Эти теоремы легко выводятся из общей теории поляр, см. Введение Кремоны, 139-139a. ]
2. [Если кривая третьего порядка имеет $\delta$ двойных точек и $\chi$ точек возврата, то по формулам Плюкера она имеет $\iota =9-6\delta -8\chi$ точек перегиба, то есть 9, 3 или 1. См. Введение Кремоны, 101.]