Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Геометрия сферы

Пятая эпоха:
Геометрия сферы

автор Мишель Шаль, пер. В.Я. Цингер
Оригинал: фр. Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie particulièrement de celles qui se rapportent à la Géométrie moderne. — Из цикла «Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов». Перевод созд.: 1829-1835 гг., опубл: 1837, перев. 1870-83 гг. Источник: Индекс в Викитеке

Пятая эпоха, n° 41-45.


[268]41. Особые теории в геометрии. В последние тридцать лет геометрия обогатилась столь многими и разнообразными предложениями и даже теориями, что в нашем обзоре её успехов за это время мы принуждены были остановиться только на важнейших методах, указывая их происхождение, характер и употребление в рациональной геометрии.

Более подробный разбор множества сочинений, в которых для настоящей минуты заключается будущность геометрии и зачатки её дальнейшего развития, был бы бесспорно очень полезен, но на это потребовался бы целый том и чрезмерно расширились бы границы, в которых мы должны держаться.

Однако мы не можем не остановиться на двух, из множества других отделов, которые по различным причинам представляют, как нам кажется, особенную важность для развития отвлеченной геометрии и её приложений к вопросам о явлениях природы. Мы говорим о теории поверхностей второго порядка и о геометрии сферы, т. е. учении о сферических фигурах.

Последнее учение существует уже так давно, поверхности же второго предмета представляют предмет настолько избитый, особенно в последние годы, что может, вероятно, возникнуть сомнение, возможно ли еще что-нибудь сделать в этих двух отделах геометрии и имеют ли они действительно ту важность, которую мы им приписываем. Поспешим оправдать наше мнение, что бы предупредить [269]чувство недоверчивости, которое мы боимся встретить во многих геометрах, прочитывающих наше сочинение.

42. Геометрия сферы. Геометрия сферы восходит до глубокой древности; она получила свое начало в тот день, когда астроном-философ сделал попытку открыть связь между явлениями планетного мира. Мы видели, что Гиппарх, Феодосий, Менелай, Птоломей обладали уже значительными познаниями в сферической тригонометрии. Но вся эта наука приводилась к вычислению треугольников; хотя впоследствии она развилась и в руках наших знаменитейших геометров достигла высокой степени совершенства, но всегда оставалась в одних и тех же рамках, потому что сохраняла всегда одно и то же назначение, именно — вычисление треугольников для употребления в астрономии, мореплавании и в тех громадных геодезических работах, которые открыли нам истинную форму земного сфероида. Но эта наука, соответствующая почти вполне учению о прямой линии и о треугольниках в геометрии на плоскости, не составляет еще всей геометрии сферы. На этой кривой поверхности очевидно можно, подобно фигурам на плоскости, рассматривать множество различных фигур, начиная с круга как фигуры простейшей.

Но такое естественное распространение было введено в геометрию сферы не более сорока лет тому назад. Это сделано было геометрами северной Европы. Если оставить в стороне теорию сферических эпициклоид и некоторые особые исследования, напр. исследования Гвидо Гранди о кривых, названных клелиями, то мы не заметим, чтобы кто нибудь пытался разрешить на сфере задачи, подобные задачам плоской геометрии, раньше Лекселя (Lexell), который в Актах Петербургской Академии (т. V и VI) исследовал свойство кругов проведенных на сфере, подобные свойствам кругов на плоскости. Этому геометру обязаны мы изящною теоремою о кривой, представляющей место [270]вершин сферических треугольников, имеющих общее основание и одинаковую площадь.

Вскоре после этого Фусс, соотечественник Лекселя, в двух мемуарах (Nova Acta, t. III et IV) разрешил несколько вопросов сферической геометрии, занимаясь преимущественно свойствами сферического эллипса. Это — кривая, представляющая место вершин треугольников, имеющих общее основание и постоянную сумму двух других сторон. Фусс нашел, что эта кривая есть пересечение сферы с конусом второго порядка, имеющим вершину в центре сфере; другими словами, — это есть линия кривизны конусов второго порядка[1].

Эти первые работы Лекселя и Фусса были продолжаемы в Актах Петербургской Академии Шубертом[2], о котором мы уже говорили по тому поводу, что он всю сферическую тригонометрию основал на одной теореме Птоломея[3]. Этот геометр решил многие вопросы о геометрических местах вершины треугольника, имеющего неизменное основание, как в задачах Лекселя и Фусса, но две другие стороны которого подчиняются различным другим условиям.

Этот новый род изысканий, обещавший обильную жатву новых и интересных истин, остался однако так мало замеченным, что из изящной теоремы Лекселя, хотя она и помещалась в многочисленных изданиях геометрии Лежандра, никто не вывел заключения о существовании подобной же и не менее интересной теоремы, получаемой из неё согласно теории дополнительных фигур. Только в недавнее время Sorlin получил прямо эту теорему в мемуаре о [271]сферической тригонометрии, в котором двойственность сферических фигур, т. е. двоякого рода свойства их, изложены в полном соответствии между собою[4].

Весьма также недавно Магнусом, из Берлина, был снова выведен на сцену сферический эллипс Фусса; Магнус путем анализа открыл и доказал сперва соответственное свойство конуса и отсюда уже, как следствие, вывел свойство этого эллипса. Он открыл в нем еще другое прекрасное свойство, аналогическое с одним из важнейших свойств плоского эллипса, именно: дуги двух больших кругов, проведенных из фокусов в точку кривой, образуют равные углы с дугою круга касательного в этой точке[5].

43. Несколькими годами ранее другие геометры разрешили различные вопросы сферической геометрии и указали аналогию их с вопросами геометрии на плоскости. Люилье, из Женевы, нашел для сферических прямоугольных треугольников теоремы сходные с важнейшими предложениями о прямоугольных треугольниках на плоскости, какова напр. теорема Пифагора[6]; он определил также центр средних расстояний для сферического треугольника[7]. Жергонн, в Annales de Mathématiques, предложил решение различных вопросов геометрии на сфере, имеющих себе соответственные на плоскости; приведем например следующее прекрасное свойство сферического четырёхугольника, принадлежащее также и плоскому четырёхугольнику: если сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других, то около четырёхугольника можно описать круг[8]. Потом Гено (Guéneau d'Aumont); профессор в [272]Дижоне, открыл в сферических четырёхугольниках, вписанных в круг, характеристическое свойство, соответствующее в дополнительных фигурах теореме Жергона: сумма двух противоположных углов такого четырёхугольника равна сумме двух остальных[9]; это свойство есть бесспорно одно из важнейших в элементах сферической геометрии, так как оно выражает собою простое и богатое следствиями соотношение между четырьмя точками, лежащими на одном малом круге. — Кетле рассматривал на сфере многоугольники, составленные из дуг больших или малых кругов, и дал простую и изящную формулу для вычисления их поверхности[10]. Этот вопрос уже не раз занимал геометров; прежде всего — Курсье[11], о котором мы уже говорили как о геометре, построившем некоторые линии двойной кривизны, затем — Д'Аламберта[12] и Боссю[13], которые прилагали к решению аналитические приемы и для которых этот вопрос служил доказательством, что чистая геометрия представляет нередко более легкий и быстрый путь, нежели самые утонченные и остроумные вычисления.

44. До сих пор мы встретили только несколько разрозненных предложений, весьма красивых и способных привлечь интерес к сферической геометрии, но еще не представляющих систематического и последовательного изучения этого отдела науки о пространстве. Только в последнее время стали пытаться основать геометрию сферы в таком же виде, как существующая геометрия на плоскости. Первый пошел этим путем, сколько нам известно, Штейнер в сочинении о преобразовании и разделении сферических фигур на основании графических построений [273][14]; сочинение это основано на вышеупомянутой изящной теореме Гено. Штейнер доказывает здесь предложение, соответствующее, по способу дополнительных фигур, теореме Фусса о сферическом эллипсе[15] и находит две дуги больших кругов, играющие роль асимптоты гиперболы на плоскости. (Это те самые две дуги, которые мы в Mémoire sur les coniques sphériques назвали циклическими дугами (arcs cycliques) и к которым были приведены исследованием круговых сечений конуса второго порядка).

Не можем входить в дальнейшие подробности по поводу сочинения Штейнера, которое написано по-немецки и известно нам только по разбору, находящемуся в Bulletin universel des sciences t. VIII, p. 298. Также кратко укажем на Гудермана по поводу его специальных и глубоких исследований об аналогии между сферическими и плоскими фигурами[16].

45. Таким образом положено начало сферической геометрии в правильной и догматической форме; имена геометров, взявших на себя это дело, ручаются за быстрые успехи этого отдела науки о пространстве. Никто не станет [274]оспаривать теоретической пользы подобных изысканий.

Чтобы это подтвердить, достаточно заметить, что плоская геометрия есть не более как частный случай сферической, именно тот, когда радиус предполагается бесконечным; поэтому все важнейшие истины первой необходимо находятся в связи с наиболее общими свойствами в последней; всегда полезно рассматривать геометрические истины в их наибольшей общности, в их, если можно так выразиться, наибольшей близости к высшим законам, изыскание которых есть постоянная цель всех усилий геометров. При такой общности эти истины представляют такие соотношения к аналогии, которые не замечаются в их следствиях, но которые обнаруживают их взаимную связь и дают возможность восходить к еще более общим принципам, следы которых неясны и неразличимы в предложениях частных и ограниченных. Геометрия сферы, независимо от свойственного ей самой характера и бесспорного её значения, заслуживает следовательно со стороны геометров внимания и изучения уже как способ обобщения свойств фигур на плоскости. Мы уже заметили выше[17], что при настоящем состоянии геометрии обобщение есть самое верное средство для дальнейшего её развития и для новых открытий. Трудами геометров должно руководить именно такое направление научного исследования[18].

Примечания

  1. Эта кривая описывается ва сфере, подобно эллипсу на плоскости, посредством нити, концы которой укреплены в двух фокусах и которая натягивается подвижным острием. Фусс получил этот замечательный вывод из своих формул. Если длина нити равна полуокружности сферы, то описываемая кривая будет большой круг при каком угодно расстояния между фокусами.
  2. Nova acta, t. XII, 1794, p. 196.
  3. См. Прим. VI.
  4. Annales de Mathématiques, t. ХУ, 1824—1825.
  5. Ibid t. XVI.
  6. Ibid t. I, 1810—1811.
  7. Ibid t. II, 1811—1812.
  8. Изложено в т. V, стр. 384 и доказана Дюрраном в т. VI, стр. 49.
  9. Annales de Mathématiques, t. XII, 1821—1822.
  10. Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, t. II, 1822.
  11. Supplementum sphaerometriae, sive triangularium et aliarum in sphaera figurarum quoad areas mensuratio. 1676.
  12. Mémoires de la Société royale de Turin, t. IV, p. 127, 1766—1769.
  13. Traité de calcul différentiel et intégral, t. II, p. 522.
  14. Crelle's Journal t. II.
  15. Предложение это таково: огибающая оснований треугольников, имеющих одинаковую поверхность и общий угол, есть сферический эллипс. Когда мы сами доказали эту теорему, помещенную сперва в Mémoire sur les surfaces du second degré de révolution, потом в специальном сочинении sur les coniques sphériques, то думали, что нам первым удалось это, так как не знали тогда разбора мемуара Штейнера в Bulletin des sciences. Иначе мы указали бы на сочинение этого глубокого геометра с таким же уважением, с каким во многих случаях указывали на сочинение Магнуса о том же предмете.
  16. В отчете о содержании VI тома журнала Крелля Bulletin des sciences (t. XV, p. 75, февраль 1831) выражается так: «Гудерман излагает несколько теорем, относящихся к теории, называемой им Аналитической сферикой, начала которой он изложил в сочинении недавно изданном в Кельне. Задача состоит в том, что бы путем аналогии переходить от свойств плоских фигур к свойствам фигур начерченных на сфере и отнесенных к системе сферических координат.»
  17. Глава III, n° 20.
  18. «Истинно полезен такой очерк науки, который в ежедневных её успехах ищет и видит только средства для достижения общих законов, для включения приобретенных понятий в общие понятия высшего порядка». (Herschel, Discours sur l'étude de la philosophie naturelle).